Теорема Бернулли

- "успех" и - "неуспех".
Вероятность "успеха" в

каждом испытании одинакова и равна P(A) = p
Соответственно, вероятность "неуспеха" также не меняется от опыта к опыту и равна .

Схема Бернулли

Какова вероятность того, что в серии из n опытов k раз наступит успех?
Найти Pn(k) .

колода перемешивается.
Исследуется  n изделий некоторого производства, наугад выбранные, на качество.
Стрелок стреляет

по мишени n раз.

Примеры

чем состоит «успех» и чему равны n и k.

а) Какова вероятность трехкратного выпадения

«двойки» при десяти бросаниях игрального кубика? б) Какова вероятность того, что при ста бросаниях монеты «орел» появится 73 раза? в) Двадцать раз подряд бросили пару игральных кубиков. Какова вероятность того, что сумма очков ни разу не была равна десяти? г) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали результат и возвратили их в колоду, затем карты перемешали. Так повторялось 4 раза. Какова вероятность того, что каждый раз среди вытащенных карт была дама пик?.

в n независимых повторениях одного и того же испытания находится

по формуле

,
где p – вероятность «успеха»,
q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном опыте.

…6 раз?

Решение.  Число опытов n=6.

Событие А – «успех» – выпадение герба.    


По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

;

;

;

;

;

;

…6 раз?

Решение.  Число опытов n=6.

Событие А – «успех» – выпадение герба.    

;

;

;

;

;

;

опытов n=10, m=2.

Событие А – «успех» – выпадение герба.    


По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

;

;

;

;

;

;

шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением

следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности     По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение.  Вероятность рождения

девочки  , мальчика
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

одна девочка. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение.  Вероятность

рождения

девочки  , мальчика
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

две девочки.

Решение.  Вероятность рождения

девочки 

, мальчика
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

три девочки.

Решение.  Вероятность рождения

девочки 

, мальчика
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 

не больше трёх девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются

одинаковыми.

Решение.  Вероятность рождения

девочки  , мальчика
Требуемая вероятность равна 

.

вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две

будут нестандартными.

Решение.  Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество.
Событие А - «появление нестандартной детали»,

.

0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных

будет не менее 16 и не более 19.

Решение. 

.

вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две

будут нестандартными.

Решение.  Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество.
Событие А - «появление нестандартной детали»,

.

вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного

забракованного контролером?

Решение.  Число опытов n=12, m=0
Событие А – «успех» - не будет ни одного забракованного.

;

;

;

;

;

;

пару различных монет. «Неудача» - выпадение двух «орлов».
б) Бросают игральный

кубик. «Успех» - выпадение числа, кратного трем.
в) Бросают пару различных кубиков. «Неудача» - выпадение двух четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5. «Успех» - среди них нет дамы пик.