Теорема о циркуляции вектора

Содержание

1. Теорема о циркуляции вектора
2. 5.1. Теорема о циркуляции вектора В
3. Существует и другой способ описания поля –
4. Рассмотрим поле, создаваемое неподвижнымточечным зарядом q’. В
5. где F(r) – модуль вектора силы ,
6. Для того, чтобы доказать, чтоэлектростатическое поле потенциально,
7. Вычислим работу, которую совершаетэлектростатическое поле, созданное зарядом,
8. Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу: (5.1.2)
9. Работа электростатическихсил не зависит от формы пути,
10. Если в качестве пробного заряда, перенесенного източки
11. Тогда вся работа равна:
12. Для доказательства теоремы разобьем произвольнозамкнутый путь на
13. Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важныхвыводов,
14. Рис. 5.3,аПример 2. Возможна ли конфигурация электростатического поля как на рисунке 5.3,а?
15. Рис. 5.3,бСтрелки здесь показывают направление обхода. На
16. 5.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергияМы
17. Исходя из принципа суперпозиции сил , можно
18. Работу сил электростатического поляможно выразить через убыльпотенциальной
19. 5.3. Потенциал. Разность потенциаловРазные пробные заряды q1,
20. Из этого выражения следует, что потенциал численно
21. Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (5.2.4),
22. физический смысл имеет не потенциал, а разность
23. Другое определение потенциала:т.е. потенциал численно равен
24. Если поле создается системой зарядов, то, используя
25. Выразим работу сил электростатического поля через разность
26. Формулу
27. 5.4. Связь между напряженностью и потенциалом Изобразим
28. эта работа, если она совершена электростатическим полем,
29. Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве,
30. Коротко связь между и φ записывается
31. 5.5. Безвихревой характер электростатического поля Из условия
32. Величина
33. Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между
34. Слайд 34
35. Скачать презентанцию

5.1. Теорема о циркуляции вектора В предыдущей теме было показано, чтовзаимодействие между покоящимисязарядами осуществляется черезэлектростатическое поле. Описаниеэлектростатического поля мы рассматривалис помощью вектора напряженности ,равного силе, действующей в данной

Главная
Разное
Теорема о циркуляции вектора

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 5. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С

ПОТЕНЦИАЛОМ
5.1. Теорема о циркуляции вектора
5.2. Работа сил электростатического поля.

Потенциальная энергия
5.3. Потенциал. Разность потенциалов
5.4. Связь между напряженностью и потенциалом
5.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
5.6. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей

Лекция 5. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ5.1. Теорема о циркуляции вектора 5.2. Работа

Слайд 25.1. Теорема о циркуляции вектора
В предыдущей теме было показано,

что
взаимодействие между покоящимися
зарядами осуществляется через
электростатическое поле. Описание
электростатического поля мы рассматривали
с

помощью вектора напряженности ,
равного силе, действующей в данной точке на
помещенный в неё пробный единичный
положительный заряд

5.1. Теорема о циркуляции вектора В предыдущей теме было показано, чтовзаимодействие между покоящимисязарядами осуществляется черезэлектростатическое поле.

Слайд 3Существует и другой способ описания поля – с
помощью потенциала. Однако

для этого
необходимо сначала доказать, что силы
электростатического поля консервативны, а само
поле

потенциально.

Существует и другой способ описания поля – спомощью потенциала. Однако для этогонеобходимо сначала доказать, что силыэлектростатического поля

Слайд 4Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным
точечным зарядом q’. В любой точке этого

поля на
пробный точечный заряд q действует сила
Рис. 5.1

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижнымточечным зарядом q’. В любой точке этого поля напробный точечный заряд q действует силаРис.

Слайд 5
где F(r) – модуль вектора силы ,

– единичный
вектор, определяющий положение заряда q относительно

, ε0 – электрическая постоянная.

где F(r) – модуль вектора силы , – единичныйвектор, определяющий положение заряда

Слайд 6Для того, чтобы доказать, что
электростатическое поле потенциально, нужно
доказать, что силы

электростатического поля
консервативны.
Из раздела «Физические основы механики»
известно, что любое стационарное

поле
центральных сил является консервативным, т.е.
работа сил этого поля не зависит от формы
пути, а только от положения конечной и
начальной точек.

Для того, чтобы доказать, чтоэлектростатическое поле потенциально, нужнодоказать, что силы электростатического поляконсервативны. Из раздела «Физические основы механики»известно,

Слайд 7Вычислим работу, которую совершает
электростатическое поле, созданное
зарядом, по перемещению заряда

q
из точки 1 в точку 2.
Работа на пути dl

равна:

где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl;

(5.1.1)

Рис. 5.1

Вычислим работу, которую совершаетэлектростатическое поле, созданное зарядом, по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.Работа

Слайд 8Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2

равна интегралу:

(5.1.2)

Слайд 9Работа электростатических
сил не зависит от формы пути, а
только лишь от

координат
начальной и конечной точек
перемещения.
Следовательно, силы поля
консервативны, а само поле –
потенциально.

Работа электростатическихсил не зависит от формы пути, атолько лишь от координатначальной и конечной точекперемещения.Следовательно, силы поляконсервативны, а

Слайд 10Если в качестве пробного заряда, перенесенного из
точки 1 заданного поля

в точку 2, взять
положительный единичный заряд q, то
элементарная работа сил

поля будет равна:

Рис. 5.2

Если в качестве пробного заряда, перенесенного източки 1 заданного поля в точку 2, взятьположительный единичный заряд q,

Слайд 11Тогда вся работа равна:

(5.1.3)
Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора
Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути:
(5.1.4)

Это утверждение и называют теоремой о циркуляции .

Слайд 12Для доказательства теоремы разобьем произвольно
замкнутый путь на две части: 1а2

и 2b1 (рис.5.2).
Из сказанного выше следует, что

(Интегралы по модулю равны,

но знаки
противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:

Рис. 5.2

Слайд 13Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных
выводов, практически не прибегая

к расчетам.
Рассмотрим два простых примера, подтверждающих это
заключение.
Пример1. Линии электростатического поля

не могут быть
замкнутыми. В самом деле, если это не так, и какая-то
линия – замкнута, то, взяв циркуляцию вдоль этой
линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой о
циркуляции вектора : . А в данном случае
направление интегрирования в одну сторону, поэтому
циркуляция вектора не равна нулю, т.е.

Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важныхвыводов, практически не прибегая к расчетам.Рассмотрим два простых примера, подтверждающих этозаключение.Пример1.

Слайд 14

Рис. 5.3,а
Пример 2. Возможна ли конфигурация электростатического
поля как на

рисунке 5.3,а?

Слайд 15Рис. 5.3,б
Стрелки здесь показывают направление обхода. На вертикальных участках

перпендикулярно и А = 0. Остаются два

одинаковых по длине горизонтальных участка. Из рисунка видно, что вклады в циркуляцию на этих участках противоположны по знаку, но не равны по модулю: больше там, где линии гуще, поэтому циркуляция отлична от нуля, что противоречит теореме о циркуляции.

Рис. 5.3,бСтрелки здесь показывают направление обхода. На вертикальных участках перпендикулярно и А =

Слайд 165.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия
Мы сделали заключение, что
электростатическое

поле потенциально.
Следовательно, можно ввести функцию
состояния, зависящую от координат –
потенциальную энергию.

5.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергияМы сделали заключение, чтоэлектростатическое поле потенциально.Следовательно, можно ввести функциюсостояния, зависящую от

Слайд 17Исходя из принципа суперпозиции сил ,

можно показать, что общая

работа А будет равна сумме работ каждой силы:

(5.2.1)

Здесь каждое слагаемое не зависит от формы
пути, следовательно, не зависит от формы
пути и сумма.

Исходя из принципа суперпозиции сил , можно показать, что общая работа А будет равна сумме работ каждой

Слайд 18Работу сил электростатического поля
можно выразить через убыль
потенциальной энергии – разность

двух
функций состояний:

(5.2.2)
Это выражение для работы можно переписать
в виде (5.2.3)
Сопоставляя формулу (5.2.2) и (5.2.3), получаем выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q:
(5.2.4)

Слайд 195.3. Потенциал. Разность потенциалов
Разные пробные заряды q1, q2,… будут обладать

в одной и той же точке поля разными энергиями W1,

W‘2 и так далее. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал:

(5.3.1)

5.3. Потенциал. Разность потенциаловРазные пробные заряды q1, q2,… будут обладать в одной и той же точке поля

Слайд 20Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии,

которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный

Слайд 21Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (5.2.4), получим для потенциала

точечного заряда следующее выражение:

(3.3.2)

Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования.

Слайд 22физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились

считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.
Когда

говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.

физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность,

Слайд 23 Другое определение потенциала:

т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают

силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из

данной точки в бесконечность
(или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом , если q > 0.

Другое определение потенциала:т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при

Слайд 24Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:

(5.3.3)

Тогда и для потенциала или
(5.3.4)

т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно.

Слайд 25Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной

и конечной точками:

Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала:
(5.3.6)

где U – напряжение.

Слайд 26Формулу

можно использовать для установления единиц потенциала:
за единицу φ принимают

потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.
В СИ единица потенциала
Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:

Формулу можно использовать для установления единиц потенциала: за

Слайд 275.4. Связь между напряженностью и потенциалом
Изобразим перемещение заряда q по

произвольному пути l в электростатическом поле .

Работу, совершенную силами электростатического

поля на бесконечно малом отрезке можно найти так:
(5.4.1)

5.4. Связь между напряженностью и потенциалом Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l в электростатическом поле

Слайд 28эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной

энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:

отсюда

(5.4.2 )

Слайд 29Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции

на оси координат:

где i, j, k – орты осей – единичные векторы.
По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции

– вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.

Слайд 30Коротко связь между и φ записывается так:

(3.4.4)

или так:
(3.4.5)

где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона.
Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

Слайд 315.5. Безвихревой характер электростатического поля
Из условия

следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного

произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем
,

поскольку определитель содержит две одинаковые строки.

5.5. Безвихревой характер электростатического поля Из условия следует одно важное соотношение,

Слайд 32Величина

называется ротором или вихрем

Мы получаем важнейшее уравнение электростатики:

(5.5.1)

Таким образом кулоновское электростатическое поле – безвихревое.

Величина называется ротором или вихрем Мы получаем важнейшее

Слайд 33Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным

интегралами:

где контур L ограничивающий поверхность S, ориентация которой определяется направлением вектора положительной нормали :
Поэтому работа при перемещении заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю.

Слайд 34

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теорема о циркуляции вектора

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 5. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С

ПОТЕНЦИАЛОМ5.1. Теорема о циркуляции вектора 5.2. Работа сил электростатического поля.

Слайд 25.1. Теорема о циркуляции вектора В предыдущей теме было показано,

чтовзаимодействие между покоящимисязарядами осуществляется черезэлектростатическое поле. Описаниеэлектростатического поля мы рассматривалис

Слайд 3Существует и другой способ описания поля – спомощью потенциала. Однако

для этогонеобходимо сначала доказать, что силыэлектростатического поля консервативны, а самополе

Слайд 4Рассмотрим поле, создаваемое неподвижнымточечным зарядом q’. В любой точке этого

поля напробный точечный заряд q действует силаРис. 5.1

Слайд 5где F(r) – модуль вектора силы ,

– единичныйвектор, определяющий положение заряда q относительно

Слайд 6Для того, чтобы доказать, чтоэлектростатическое поле потенциально, нужнодоказать, что силы

электростатического поляконсервативны. Из раздела «Физические основы механики»известно, что любое стационарное

Слайд 7Вычислим работу, которую совершаетэлектростатическое поле, созданное зарядом, по перемещению заряда

q из точки 1 в точку 2.Работа на пути dl

Слайд 8Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2

равна интегралу: (5.1.2)

Слайд 9Работа электростатическихсил не зависит от формы пути, атолько лишь от

координатначальной и конечной точекперемещения.Следовательно, силы поляконсервативны, а само поле –потенциально.

Слайд 10Если в качестве пробного заряда, перенесенного източки 1 заданного поля

в точку 2, взятьположительный единичный заряд q, тоэлементарная работа сил