Слайд 1
«Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач»
учитель математики
муниципального общеобразовательного учреждения
Арсугская СОШ
Алавдинов Рамазан Гасанович
Слайд 2ОБУЧАЮЩАЯ :
обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах
сформировать видение изученной закономерности
в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач,
требующих найти численное (или буквенное значение) какого-либо элемента .
учиться умению читать чертеж,
учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
РАЗВИВАЮЩАЯ :
развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
ЦЕЛЬ УРОКА
Слайд 3Проверка домашнего задания.
ПЛАН УРОКА
I. Организационный момент.
III. Актуализация знаний.
IY. Применение теории
на практике.
Y. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при
выполнении предстоящих заданий
YI. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя
YII. Подведение итогов.
YIII. Домашнее задание.
Дерзай !!!
II.
Слайд 4«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ... Все равно начало почти всегда оказывается
весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны, НАИБОЛЕЕ
УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ» (Дени Дидро).
ЭПИГРАФ К УРОКУ
Denis Diderot
1713 - 1784
Екатерина II
Слайд 5Акцентируем теорию по теме.
1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются
такие прямые?
Ответ: перпендикулярные.
2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если
она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости»
Ответ: да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Слайд 64. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Ответ:
как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой.
5. По
рисунку назовите:
перпендикуляр, основание
перпендикуляра, наклонную к
плоскости α, основание
наклонной и её проекцию на
плоскость α.
6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.
α
K
D
P
Слайд 7Теорема о трёх перпендикулярах.
Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной
перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой
наклонной
Обратно: прямая, проведённая в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к ней
перпендикулярна и к её проекции.
Слайд 8Дано: α , АС – наклонная,
ВС – проекция, ВС
┴ с , АВ ┴ α.
Доказать: АС ┴ с.
Доказательство.
1.Проведем СА1
┴ с .
2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны).
3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β.
4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с ┴ β, значит,
с ┴АС.
Слайд 9Iспособ (от противного)
Теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Доказательство:
Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA> SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB:
Получаем: ОА>OB. Между тем ОА < OB, так как ОА ┴ t по условию. К данному противоречию нас привело предположение, что SA не перпендикулярна прямой t. Значит, SA┴ t.
S
Слайд 10II способ (свойства равнобедренного треугольника)
Доказательство:
От
точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и
N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.
Слайд 11III способ (теорема Пифагора)
Доказательство:
На прямой t возьмем
произвольную точку В и соединим ее с точками О и
S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.
Слайд 12IV способ (векторный)
Доказательство:
Зададим векторы
Умножим обе части на
Скалярное произведение двух
перпендикулярных векторов равно нулю:
Но и
не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.
Слайд 13Задача № 1
Дано:
АВСК –прямоугольник.
Доказать:
Слайд 15Задача № 3
Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через
диагонали параллельных граней?
Ответ: А1ВСD1 - прямоугольник
Слайд 16Задача №4
На изображении куба построить несколько прямых перпендикулярных диагонали
куба.
Слайд 17Задача №154 (Атанасян)
Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника
АВС. Известно, что BD = 9 см,
АС
= 10 см, ВС = ВА = 13 см.
Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.
Думай
Д
У
М
А
Й
!
!
!
Слайд 18Задача № 158
Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до
прямы, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол BAD равен 60 градусам, ВМ = 12,5 см.
Р
Е
Ш
А
Й
!!!
Слайд 19Задача №161
Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD.
Докажите, что если угол АВС равен углу ABD, причем угол
АВС меньше 90 градусов, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.
о
трех
перпендикуляра х -
это
. . .
Теорема
Слайд 20Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две
прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны).
Может ли прямая, перпендикулярная к
плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?
Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?
Слайд 21Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна
к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные
к третьей прямой, параллельны)?
Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)?
Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?
Слайд 22Критерии оценок
7 правильных ответов – «5»
6 правильных ответов – «4»
5
правильных ответов – «3»
Слайд 23I уровень.(на «3»)
Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB =
SC =10 см; СМ =5 см –медиана.
Найти: SM (расстояние от
точки S до плоскости (АВС)).
II уровень ( на «4»)
Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см.
Найти: расстояние от точки К до (АВС).
III уровень.( на «5»)
Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),
<А – меньший,
АМ = 20 см.
Найти: МЕ.
Слайд 24Подведение итогов.
Дано: AD┴ (АВС),
Каково взаимное расположение прямых СВ и BD
?
Ответ обоснуйте.
D
A
B
C
Слайд 25ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. № 145, 143, 140.
2. Ответить на вопросы пп
19, 20.
3. Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена
плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80 ,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.
Дальнейших
успехов !!!
СПАСИБО!