ТЕОРИЯ АБСТРАКТНЫХ АВТОМАТОВ

информации по некоторому правилу (алгоритму).
Примером автомата могут служить ЭВМ,

математические абстрактные машины, аксиоматические теории и т.п.

шести элементов:
S = {X, Q, Y, δ, λ, q1}S–абстрактный автомат;
X–множество

входных символов (входной алфавит автомата): X= {x1, ... , xm};
Q–множество состояний автомата: Q= {q1, ... , qn};Y–множество выходных символов (выходной алфавит автомата):Y= {y1, ... , yp};
δ–функция переходов автомата из одного состояния в другое: qj= δ(qi, xk), где: qj–следующее (новое) состояние автомата;
qi–текущее состояние автомата;xk–текущий входной символ; λ–функция выходов:yl= λ (qi, xk);
q1 –начальное состояние автомата (применяется также обозначение q0).
Автомат называется конечным, если множества X, Q, Y–конечны

Общие сведения

T–интервал (такт), разделяющий дис-кретные моменты времени;
если T= 1, то

t= n, т. е. дискретное время сопоставляется упорядоченному ряду натуральных чисел.

одним входом и одним выходом, с которым можно экспериментировать, не

зная, что находится внутри.
Выходной символ (yl Y) зависит не только от входного символа (x X), но и от того, в каком состоянии (qi Q) находится автомат.
Автомат функционирует в дискретном времени; это означает, что элементы описания автомата заданы только в упомянутые выше дискретные моменты.
Представим, что с некоторого начального, например, нулевого момента времени на вход автомата подаются входные символы, образующие входное слово некоторой длины (длина любого i-го слова измеряется числом символов).
На выходе получаем выходное слово той же длины

в выходные с сохранением длины слов.
Символы алфавитов, присутствующие на

входе и выходе автомата, будем также называть входными и выходными сигналами.
На практике широкое распространение получили две основные модели, описывающие функционирование АА:
1. Модель Мили;
2. Модель Мура

Общие сведения

x(t)) y(t) = λ(q(t), x(t))
t–текущий момент времени;t+1–следующий момент времени;
q(t+1)–состояние автомата

в следующий момент времени;
q(t), x(t), y(t) –элементы описания автомата в текущий момент времени

x(t)) y(t) = λ(q(t))
В модели Мура выходной сигнал явно

зависит только от состояния, а косвенно – и от входного сигнала.
Любой автомат можно спроектировать по той или иной модели

Мили табличный способ заключается в построении двух таблиц:
таблицы переходов

(ТП) и таблицы выходов (ТВ).

выходных сигналов, соответствующих состояниям автомата.
На рисунке показана таблица переходов

и выходов для автомата Мура.

состояниям автомата, а дуги – переходам из состояния в состояние.

Обозначения входных и выходных сигналов распределяются в автоматах Мили и Мура по-разному.

вырабатывается при переходе, а в автомате Мура присутствует в течение

всего периода дискретного времени, пока автомат находится в данном состоянии.

всех состояний в зависимости от входных сигналов (под действием одного

и того же сигнала автомат не может переходить из любого рассматриваемого состояния в различные состояния).
Фрагмент графа, изображенный на рисунке 7, не может относиться к детерминированному автомату

такого, что δ(qs, xk) = qi, справедливо соотношение:
δ(qi, xk) =

qi. (здесь qs–состояние, предшествующее qi).
Это означает, что, автомат не изменяет своего состояния при повторении на следующем такте сигнала, приведшего его в состояние qi.
Фрагмент графа, иллюстрирующий устойчивость состояния, приведен на рисунке.

... , n) устойчиво;
в противном случае автомат называется синхронным.
Синхронные

автоматы важны для теории, а на практике чаще используются асинхронные; устойчивость состояний в асинхронных автоматах достигается введением специальных сигналов синхронизации.

один такт (для запоминания на один такт)
Таблица переходов и таблица

выходов:

y1= 1

Граф автомата для задержки сигнала на один такт

который был на такт раньше.
Автомат для проверки двоичной последовательности на

четность

Граф автомата для проверки двоичной последовательности на четность

единиц на входе, а «1» на выходе вырабатывается при нечетном

числе единиц на входе.
Оба рассмотренных автомата имеют "слабую" память, но слабую в разном смысле.
У первого автомата "короткая" память во времени (помнит только один сигнал).
У второго автомата память "длинная" (длина входной последовательности может быть любой), но он различает (распознает) лишь два класса последовательностей.

закодированных двумя двоичными разрядами: q0 = 00; q1 = 01;

q2 = 10; q3 = 11

Граф автомата для задержки сигнала на два такта

автомат (он легко преобразуется в автомат Мура);
вторая цифра кода

показывает, под действием какого сигнала автомат приходит в данное состояние.
легко проверить, что выходной сигнал повторяет входной через два такта.

два состояния:
q0 – нет переноса (сложение цифр операндов не

требует учета единицы переноса из предыдущего разряда кода);
q1 –есть перенос (единица переноса должна быть учтена)

из дугграфа, указаны цифры слагаемых; в знаменателе –результат суммирования в

текущем разряде. Сумматор позволяет суммировать двоичные последовательности произвольной длины.

имеющий постоянное значение, что эквивалентно "отключению" входа.
Если изолированный автомат

является синхронным, переходы из одного состояния в другое возможны, но при этом исключены разветвления путей, отображающих последовательности переходов (автомат является детерминированным).
Следовательно, автомат с конечным числом состояний (конечный автомат) неизбежно должен попасть в состояние, в котором уже находился ранее, и на диаграммах переходов обязательно будет присутствовать поглощающее со-стояние или цикл.

изолированного синхронного автомата

произвольно большим числом разрядов.
Причина заключается в том, что с возрастанием

числа разрядов сомножителей при умножении необходимо накапливать неограниченно большие (по объему занимаемой памяти) промежуточные результаты.

автомат S, перемножающий пары двоичных чисел с произвольно большим числом

разрядов (система счисления может быть любой без ограничения общности).

Проблема умножения

2n.
В этом случае каждый из сомножителей содержит единицу, за

кото-рой следуют n нулей; результат умножения (2n2n= 22n) содержит единицу и 2n нулей. Применим экономный способ использования памяти: пары разрядов сомножителей подаются последовательно, начиная с младших разрядов (аналогично тому, как это делалось в рассмотренном выше сумматоре).

Проблема умножения

добавить к уже выработанным n+ 1 нулям еще n–1 нулей,

а затем в заключение единицу.
Но после прекращения подачи сомножителей автомат будет работать как изолированный.
Если изолированный автомат S имеет k состояний и способен выработать на выходе подряд n нулей, где n  k, то это означает, что он находится в поглощающем состоянии или вошел в цикл.
Следовательно, он уже не сможет выработать единицу.
Так как всегда возможно сделать значение n таким, что n–1  k, правильный результат при выполнении указанного неравенства не будет получен и, следовательно, предположение о существовании автомата S приводит к противоречию.
Теорема доказана.

Проблема умножения