Теория массового обслуживания

Г.П. Фомин. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности.

М.: “Финансы и статистика”, 2000.
3. В.П. Чернов, В.Б. Ивановский. Теория массового обслуживания. М.: Инфра-М, 2000.
4. Е.С. Вентцель., Л.А. Овчаров. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: “Высшая школа”, 2000.
5. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.
6. Б.В. Гвиденко., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
7. Л. Клейнрок. Теория массового обслуживания. М.: “Машиностроение”, 1969.
8. Л.А. Овчаров. Прикладные задачи теории массового обслуживания М.: “Машиностроение”, 1969.
9.Т.Л. Саати. Элементы теории массового обслуживания. М.: Издательство Московского университета, 1973.

либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки
называется обслуживанием заявки.
Системой

массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.
Поступление заявки в СМО называется событием. Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок.

Основные понятия и классификация систем массового обслуживания

последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;
2) стационарность, т.е.

вероятность поступления данного числа заявок на любом временнóм отрезке [t1, t2] зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t1, что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени, λ, называемом интенсивностью потока заявок;
3) ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.

Основные понятия и классификация систем массового обслуживания

pi(t) поступления в СМО ровно i заявок за время t

вычисляется по формуле


т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.
Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя последовательными заявками по определению равна F(t) = P(T < t). Но P(T

при i = 0


Плотность вероятности f(t) случайной величины T определяется

формулой
а математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно

10 минут. Найти вероятность того, что за 30 минут за

справкой обратится: а) 4 человека, б) не менее 3-х человек.
Решение. Интенсивность потока заявок равна λ = 2/10 мин = 0,2[мин-1]. Для решения используем формулу (4.1), где полагаем t = T = 30 минут; для пункта (а) i = 4,
для пункта (б) i = 3, 4, 5,… .


б) при решении этого пункта целесообразно использовать противоположную вероятность:

друга. Время безотказной работы определяется показательным законом. Среднее время
безотказной работы

1-го блока – t1 = 2 года, 2-го – t2 = 1 год. Найти вероятность того, что за 1,5 года: а) не откажет ни один из блоков; б) откажет только 2-й блок; в) откажут оба
блока.
Решение: В качестве события выступает неисправность какого-то блока. Вероятность p(i) (t) исправности i-го блока в течение времени t определяется формулой

1,5 года будут равны соответственно



Вероятность того, что за время T

i-й блок выйдет из строя, является противоположной вероятностью



Обозначим через А, В, С события, фигурирующие в пунктах (а), (б), (в) соответственно и учитывая, что блоки работают независимо друг от друга, найдём:

один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее
более одного канала обслуживания

– многоканальной (например, 3 кассы на вокзале).
Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами (примером такой СМО может служить АТС). Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью.

поток заявок не зависит от СМО (билетные кассы, очередь в

булочной). В СМО замкнутого
типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих
станки на заводе). СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления, случайным образом или вне очереди (с приоритетом). СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.
n – число каналов в СМО;
λ – интенсивность поступления в СМО заявок;
μ– интенсивность обслуживания заявок;
ρ = λ/μ – коэффициент загрузки СМО;
m – число мест в очереди;

поток заявок не зависит от СМО (билетные кассы, очередь в

булочной). В СМО замкнутого
типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих
станки на заводе). СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления, случайным образом или вне очереди (с приоритетом). СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.
n – число каналов в СМО;
λ – интенсивность поступления в СМО заявок;
μ– интенсивность обслуживания заявок;
ρ = λ/μ – коэффициент загрузки СМО;
m – число мест в очереди;

pобс - вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная

способность СМО);
Q = pобс = 1 - ротк;
А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО) А = λ·Q;
Lсмо - среднее число заявок, находящихся в СМО;
- среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок.
Lобс - среднее число заявок, обслуживаемых СМО за единицу времени. Величина определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов:

где рk- вероятность системы находиться в Sk состоянии;

- коэффициент занятости каналов;
tож - среднее время ожидания (обслуживания)

заявки в очереди,
v = 1/tож - интенсивность потока ухода заявок из очереди.
Lоч- среднее число заявок в очереди (если очередь есть); определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди


где pn+i - вероятность нахождения в очереди i заявок;
- среднее время пребывания заявки в СМО;
- среднее время пребывания заявки в очереди (если есть очередь); Для открытых СМО справедливы соотношения

1,2 телефонных вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет 2

минуты. Найти основные характеристики СМО и оценить эффективность её работы.
Решение: По условию λ = 1,2 (мин)-1, μ = 2(мин)-1, откуда ρ = λ/μ = 0,6.


Таким образом, обслуживается лишь 62,5% звонков, что нельзя считать
удовлетворительным. Абсолютная пропускная способность СМО
А = λQ = λpобс = 1,2·0,625(мин)-1 = 0,75(мин)-1,
т.е. в среднем обслуживается 0,75 звонка в минуту.

потока заявок равна λ, а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом

равна μ. Размеченный граф
состояний системы



Состояние S0 означает, что все каналы свободны, состояние S (k=1, ) k = означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью λ независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина kμ характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Эрланга – основателя теории массового обслуживания. Вероятность отказа в обслуживании

заявки ротк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии Sn.

каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем μ

заявок, то можно найти по формуле:

число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в

момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО.



Состояния СМО представляются следующим образом:
S0 - канал обслуживания свободен,
S1 – канал обслуживания занят, но очереди нет,
S2 – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,
Sk+1 – канал обслуживания занят, в очереди k заявок,
Sm+1 – канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты.

предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его

компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром.



Все характеристики такой СМО можно получить
полагая в них m→ ∞. При этом необходимо различать два существенно разных случая: а) ρ ≥ 1; б) ρ < 1. В первом случае p0 = 0 и pk = 0 (при всех конечных значениях k). Это означает, что при t → ∞ очередь неограниченно возрастает, т.е. этот случай практического интереса не представляет.
Рассмотрим случай, когда ρ < 1. При этом
р0 = 1 - ρ, рk = ρk · (1 – ρ), k = 1, 2,…

заявка может быть обслужена, т.е. относительная пропускная способность равна
Q =

pобс = 1.
Абсолютная пропускная способность равна
А = λ · Q = λ.
Среднее число заявок в очереди получим из формулы
при m → ∞


Среднее число обслуживаемых заявок есть L =ρ ⋅Q=ρ обс ,
а среднее число заявок, находящихся в СМО, равно

каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность

обслуживания заявки каждым каналом
равна μ, а максимальное число мест в очереди равно m.





S0 - все каналы свободны, очереди нет;
Sl- заняты l каналов (l =1, n), очереди нет;
Sn+i- заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1,m).

в СМО очередной заявки все n каналов заняты, т.е. когда

в системе будет находиться либо n, либо n + 1,…,
либо (n + m – 1)заявок. Так как эти события несовместимы, то вероятность образования очереди роч равна сумме соответствующих вероятностей

очереди заняты, т.е.


Относительная пропускная способность равна


Абсолютная пропускная способность


Среднее число заявок,

находящихся в очереди

СМО
При ρ = n возникает неопределённость типа 0/0. В этом
случае,

раскрывая неопределённость можно получить:

из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при m

→ ∞. При этом следует иметь в виду, что при ρ/n≥1 вероятность р0 = р1=…= pn = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже
рассматривается лишь случай ρ/n < 1.

же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:


выражение для

вероятности образования очереди заявок


Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки ротк равна нулю ротк = 0, а относительная пропускная способность Q равна единице: Q = робс = 1 – ротк = 1.
Абсолютная пропускная способность А равна A = λ·Q = λ.
При m → ∞ получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок Lобс определяется формулой Lобс = ρ.

150 человек в час. Имеется 3 кассира, каждый из которых

обслуживает в среднем 1 посетителя за минуту. Найти характеристики СМО.