теория ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Функция распределения и ее свойства, плотность вероятностей непрерывной случайной величины.

Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

случайные события, но также и случайные числа. Это может быть

число очков на выпавших кубиках, число бракованных деталей в наугад выбранной партии, выигрыш (денежный) в некой игре и т.п. В связи с этим в теории вероятностей вводится понятие случайной величины.
Случайной величиной называется величина Х, которая в результате испытания может принимать единственное значение х, из заданных, заранее неизвестное.

чисел (чаще всего в порядке возрастания).
Дискретной случайной величиной (сокращенно, ДСВ)

называется величина Х, которая в результате испытания может принимать одно из значений хi, заранее неизвестное.

строке которой перечислены все возможные значения, которые может принимать Х,

а в нижней – соответствующие им вероятности рк=Р(Х=хk) – вероятность того, что в результате испытания Х примет значение хk.



Для закона распределения ДСВ Х всегда должно выполняться равенство:

закон распределения характеризуется тем, что все вероятности рk равны между

собой, следовательно, он имеет вид:

ним случайное событие А. Пусть это испытание повторяется многократно при

неизменных условиях. В таком случае говорят, что производится последовательность независимых испытаний (иногда это называется схемой Бернулли).
римером является игра двух сторон на определенных условиях (бросание монеты или кубика, шахматы, карточные игры, лотереи, тотализаторы и т.п.), событие А – это выигрыш одной из сторон в данной игре. В схеме Бернулли принято событие А называть "успехом", а противоположное ему событие А – "неудачей".

независимых испытаний с двумя исходами ("успех" или "неудача") в каждом

испытании; р – вероятность "успеха"; q=1–р – вероятность "неудачи" (обычно р и q либо заданы, либо легко вычисляются). Обозначим через k число успехов в этой серии, которое может принимать любые значения от 0 до n.
Событие Mk, состоящее в том, что число успехов в нашей серии испытаний окажется равным именно числу k, является случайным. Его вероятность Р(Mk) (Рn(k)) может быть найдена по формуле Бернулли:

число выпавших "орлов" и "решек" будут одинаковым.

орла при одном бросании, тогда р=q=1/2. Общее число испытаний n=10,

число успехов k равно 5. Значит, по формуле Бернулли:

не меньше двух раз выпадет цифра, большая четырех?

кубике при одном бросании цифры, большей четырех (т.е. 5 или

6). Очевидно, вероятность успеха р=2/6=1/3; (q=2/3). Общее число испытаний n=4. Число успехов k должно быть равно 2, 3 или 4. Поэтому, применяя три раза формулу Бернулли, получим искомую вероятность

р=1/2. Известно, что для полного поражения цели требуется не менее

трех попаданий. Какое минимальное количество выстрелов нужно произвести, чтобы с вероятностью не менее, чем 0,9, можно было утверждать, что цель поражена.

выстрелов. Тогда вероятность поражения цели будет равна:



Минимальное число выстрелов определяется

неравенством:


или

будет выполняться, начиная с n=9.
Таким образом, минимальное число выстрелов

для поражения цели с вероятностью 0,9 будет равно 9.

Бернулли нетрудно пользоваться, если число испытаний n невелико. На практике

же встречаются серии из нескольких десятков, сотен и даже тысяч испытаний. В таких случаях формула Бернулли практически непригодна.

– вероятность успеха в одном испытании; q=1–р – вероятность неудачи).

Пусть случайная величина Х – это число успехов во всей серии. Для любого 0  k  n вероятность того, что Х в результате серии испытаний примет значение k вычисляется по формуле Бернулли:

Полученный таким образом закон распределения называется биномиальным:

биномиального распределения, когда n – велико, р – мало, а

=np.

А имеет вероятность р и число испытаний n достаточно велико

(n > 50), а вероятность появления события А в каждом испытании мала (p  0,1).
Сделаем важное допущение – произведение n∙р сохраняет постоянное значение: =np. T.е. среднее число появления события в различных сериях из испытаний остается неизменным.
Используя формулу Бернулли получаем формулу распределения Пуассона:

равна р, q=1–р – вероятность промаха. Испытание заключается в том,

что стреляют в цель до первого попадания и на этом стрельба заканчивается. Число произведенных выстрелов Х является случайной величиной, которая может принимать любые целые значения k1. Найдем закон распределения Х.
Для этого рассмотрим следующие случайные события:
А1 – при первом выстреле был промах;
А2 – при втором выстреле был промах;
… и т.д.

умножения вероятностей получим:





Таким образом, получаем закон распределения этой случайной величины,

который принято называть геометрическим:

произвольным: множество всех действительных чисел, полупрямая [а; +), отрезок [a;

b] и т.п. Такие случайные величины, в отличие о дискретных, не могут быть заданы законом распределения. Для любой случайной величины X можно вести понятие функции распределения F(х).
функции распределения F(х) в точке x определяется как вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее, чем x :

Найти функцию распределения.

точками х1=1, х2=2, х3=3. Рассмотрим четыре случая:
если х1,

то событие {Х

если 1

если 2

достоверным, поэтому


Таким образом, функция распределения этой случайной величины имеет вид:






Функции

такого вида называют ступенчатыми

круге радиуса R=1 наугад отмечается точка М. Пусть случайная величина

Х – это расстояние от точки М до центра круга.

событие {X

отрицательным, поэтому

Если x>1, то событие {X

если 0

следующую функцию распределения:






В рассмотренном примере, в отличие от предыдущего, функция

распределения F(x) оказалась непрерывной.

понятие плотности распределения: она обозначается через f(x) и определяется как

производная от функции распределения, т.е.


Например, в рассмотренной ранее задаче (21) плотность распределения f(x) имеет вид.

распределения f(x). В таком случае функция распределения F(x) может быть

найдена по формуле:


Отметим характерные свойства плотности распределения:
f(x)≥0 для любого x;

заданный интервал (a, b). Эту вероятность можно найти по одной

из следующих формул:

получаем приближенную формулу:


Эта формула выражает вероятностный смысл плотности распределения: если

всю числовую прямую разбить на достаточно маленькие интервалы одинаковой длины х, то вероятность попадания Х в каждый из этих интервалов пропорциональна значению f(x) на этом интервале.