Теория вероятностей и математическая статистика

педагогических технологий»

вероятностью этого события.

Вероятность наступления события A обозначается P(A).

Все возможные исходы

испытания будем называть элементарным исходом.

Элементарные исходы при которых интересующее нас событие наступает, будем называть благоприятствующими, или благоприятными.

событию числа элементарных исходов к общему числу всех равновозможных несовместных

элементарных исходов, образующих полную группу.

Формула:

P(A) = m / n

где m – число благоприятствующих исходов,
n – общее число исходов.

есть положительное число, заключённое между 0 и 1.

Пример. Подброшены две

игральные кости. Найти вероятность, что сумма выпавших чисел будет равна 4.

Событие A: сумма выпавших очков равна 4.
Общее количество всевозможных исходов (комбинаций чисел, выпавших на двух кубиках): n = 6 * 6 = 36
Количество возможных комбинаций из двух чисел, в сумме равных 4, составляет: m = 3
(1, 3), (2, 2) и (3, 1)

Отсюда, вероятность наступления события A равна:
P(A) = m / n = 3 / 36 = 1 / 12

и B называется событие C (C = A + B

или C = A ᴜ B), состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий, причём если события A и B несовместны, то событие C состоит в появлении только одного из них.

Теорема (сумма несовместных событий). Вероятность появления несовместных событий равна сумме их вероятностей.
P(A + B) = P(A) + P(B)

группу, то сумма их вероятностей равна 1.

Определение. Два несовместных события,

образующих полную группу, называются противоположными.
При этом, если одно из противоположных событий обозначено A, то противоположное ему событие принято обозначать Ā.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
P(A) + P(Ā) = 1

C, состоящее в совместном наступлении этих событий, то есть наступает

и событие A, и событие B (C = A * B или C = A ∩ B).


Пример. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу.

Событие A1: первый студент решил задачу

Событие A2: второй студент решил задачу

Событие A3: третий студент решил задачу

задачу
A = A1 * A2 * A3

б). Событие B: Задачу

решил только первый студент
B = A1 * Ā 2 * Ā3

в). Событие C: Задачу решил хотя бы один студент
C = A1 + A2 + A3

г). Событие D: Задачу решил только один студент
C = A1 * Ā2 * Ā3 + Ā1 * A2 * Ā3 + Ā1 * Ā2 * A3

произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается P(B/A) или

PA(B).

События A и B называются независимыми, если условная вероятность события B равна безусловной вероятности события B ( P(B/A) = P(B) ) и наоборот ( P(A/B) или P(A) ) .

вероятностей одного из них на условную вероятность наступления другого события.


Пример.

Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность, что он ответит на 2 вопроса.

Событие A: студент ответил на первый вопрос

Событие B: студент ответил на второй вопрос

Тогда интересующие нас события:
P(A) = 20/25
P(B/A) = 19/24
P(A ∩ B) = 20/25 * 19/24 = 19/30

из них на условные вероятности всех остальных.
Причём вероятность каждого последующего

события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже наступили.

P(A 1 * A2 * ... * An) =

= P(A1) * P(A2 / A1) * P(A3 / A1 * A2) * ... * P(An / A1 * … * An-1)


P(A*B*C) = P(A) * P(B/A) * P(C/A*B)

синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают

один шар, не возвращая его в урну.
Найти вероятности, что при первом испытании появится белый шар (A), при втором – чёрный (B), при третьем – синий (C).

P(A) = 5/12
P(B/A) = 4/11
P(C/A*B) = 3/10

P(A*B*C) = P(A) * P(B/A) * P(C/A*B) = 5/12 * 4/11 * 3/10 = 1/22