Теория вероятностей и математическая статистика

о математическом ожидании.
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Проверка статистических гипотез

Теория вероятностей и математическая статистика; ООО "Новое знание": Минск, 2000.

[2]. Горяинов, В.Б., и др., Математическая статистика, п/р. В.С. Зарубин and А.П. Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424.

Тема 11. Проверка статистических гипотез

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Часто встречающиеся в приложениях

задачи МС:

Оценка неизвестных параметров

Проверка статистических гипотез

Установление формы и степени связи между случайными величинами

,
Априорная информация о параметре θ неизвестна.
В задачах об оценивании

параметра рассматривается случайная выборка из генеральной совокупности X объемом n . Функция распределения задана с точностью до параметра θ . Необходимо было по значениям случайных величин либо найти такую статистику , что ее выборочное значение для любой реализации можно принять за приближенной значение параметра θ (точечная оценка). Либо необходимо найти такие две статистики и , что интервал ( , ) с заданной вероятностью накрывал значение параметра θ (интервальная оценка).

.

Тема 11. Проверка статистических гипотез

,
О парметре θ на основании априорной информации выдвидается предположение

.

Например, θ= θ0, где θ0 – некоторое заданной значение параметра. , где θ0 – некоторое заданной значение параметра.

После этого проводится эксперимент . В результате эксперимента получаем реализацию случайной выборки . По этим данным необходимо решить, согласуется ли гипотеза θ= θ0 (нулевая гипотеза) с экспериментальными данными или верна альтернативная гипотеза θ≠ θ0

В гипотезе речь может идти также о виде функции распределения.

Тема 11. Проверка статистических гипотез

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного

распределения или о параметре известного распределения.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Ho.

Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу, противоречащую нулевой H1.

H0:a=10; H1:a≠10

Статистические гипотезы относительно неизвестного параметра θ, называют параметрическими.
Если параметр – скаляр, речь идет о однопараметрических гипотезах, если вектор – о многопараметрических гипотезах.

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Простая гипотеза содержит только одно предположение.
H0:a=10

Сложная

гипотеза состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.


H:a>10
Состоит из бесчисленного вида простых гипотез
Hi:a=bi , bi – любое число.

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Статистическую гипотезу называют простой, если

она имеет вид:

Статистическую гипотезу называют сложной , если она имеет вид:

D – некоторое множество значение θ, состоящее более, чем из одного элемента.

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Статистическую гипотезу называют простой, если

она имеет вид:

Статистическую гипотезу называют сложной , если она имеет вид:

D – некоторое множество значение θ, состоящее более, чем из одного элемента.

выборочного пространства случайной выборки
Статистическим критерием проверки гипотезы называют правило,

по которому по данным выборки принимается решение о справедливости или первой или второй гипотезы.

Статистический критерий

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

Решение принимают следующим образом:
 
Выборка принадлежит W. Отвергают H0. Принимают H1.

Выборка не принадлежит W (принадлежит дополнению множества W до выборочного пространства). Отвергают H1. Принимают H0.

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез




При использовании

критерия возможны ошибки:


Первого рода: приняли гипотезу H1, верна гипотеза H0.

Второого рода: приняли гипотезу H0, верна гипотеза H1

,
Тема 11. Проверка статистических гипотез




Вероятности совершения

ошибок первого и второго рода.

.

Вероятность ошибки первого рода - уровень значимости критерия.

Величина 1-β – мощность критерия – вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она неверна.

из необходимости максимализации его мощьности 1-β (минимизации вероятности совершения ошибки

второго рода, увеличить вероятность отвергнуть основную гипотезу, если она неверна) при фиксированном уровне значимости α.
Рассмотрим случайную выборку

Критерий Неймана-Пирсона

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

.

из генеральной совокупности X объема n с плотностью распределения вероятности p(t;θ). θ- неизвестный параметр.
Рассмотрим два простые гипотезы
H0:θ=θ0, H1:θ=θ1
θ0 , θ1 – два заданных различных значения.
Введем функцию случайной выборки

- отношение правдоподобия- статистику, представляющую собой отношение функций правдоподобия при истинности альтернативной и основной гипотез.

критерия Неймана-Пирсона в критическое множество W включают те элементы

выборочного пространства
случайной выборки , для которых выполняется неравенство
 

Критерий Неймана-Пирсона

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

.

выбирают из условия

При этом вероятность ошибки второго рода не может быть уменьшена при заданном значении вероятности ошибки первого рода α.

Оно обеспечивает заданное значение уровня значимости α и может быть записано в виде

с извесной дисперсией σ2.
 
Рассмотрим две простые гипотезы
H0: μ=μ0
H1: μ=μ1
Причем: μ0

μ1
 
Запишем функцию правдоподобия и отношение правдоподобия
 

Критерий Неймана-Пирсона. Примеры

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

.

В данном случае два неравенства равносильны

Критерий Неймана-Пирсона. Примеры


,
Тема 11. Проверка статистических гипотез

.

С выбирают из условия обеспечения заданного уровня значимости

Cлучайная величина X1+X2+...+Xn имеет нормальное распределение с математическим ожиданием nµ и дисперсией n σ2.
Поэтому условие условие можно переписать в виде

или

Таким образом, константа, задающся критическую область задается

При этом вероятность совершения ошибки второго рода является минимальной при заданном α.

Критерий Неймана-Пирсона. Примеры

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

.

определить, каков должен быть объем выборки, при котором может быть

построен критерий для проверки двух простых гипотез H0: θ=θ0
H1: θ=θ1
с заданными или меньшими значениями вероятностей ошибок первого и второго рода α и β.
 
В данном случае n определяется как минимальное целое значение n, для которого система неравенств может быть выполнена при некотором значении константы С=C*

При этом соответствующих оптимальный критерий Неймана-Пирсона, обеспечивающий заданные значения α и β, будет иметь критическое множество, обеспечиваемое

 

 

Определение объема выборки

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

.

уравнений


можно записать


Для обеспечения заданных значений α и β –

ошибок первого и второго рода минимально необходимый объем n выборки и соответствующую константу С* можно определить из системы уравнений.

 

 

Определение объема выборки. Пример

,

Тема 11. Проверка статистических гипотез

.