Теория вероятностей и математическая статистика Многомерные распределения

ИМЭИ ИГУ

законы распределения и числовые характеристики случайных величин Х и Y.
Установить

зависимы или независимы с.в. Х и Y.
Составить ковариационную и корреляционную матрицы.
Описать регрессии величины Х на Y и величины Y на Х.
Построить наилучшие в среднем квадратическом оценки величины Х по Y и величины Y по Х.
Проверить формулу полного математического ожидания.

вероятность совместного выполнения двух неравенств: X

Р(X                                                     
        

1. Функция распределения – величина неотрицательная, не превышающая единицы:
                                .

2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу.

3. Если хотя бы один из аргументов стремится к – ∞ , то функция распределения стремится к нулю:

Функция распределения. Свойства функции распределения

+ ∞, то функция распределения стремится к единице:
5. Если один

из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x,y) становится функцией распределения, соответствующей другому аргументу:

6. Вероятность попадания случайной величины {X, Y} в прямоугольник со сторонами R=(x1 < X < x2, y1< Y

отдельных случайных величин, входящих в систему:

величин X и Y является непрерывной. Система двух НСВ обычно

описывается плотностью распределения:

Свойства плотности распределения f(x,y):

число появлений шестерки,
Y – число появлений нечетной цифры.

и числовые характеристики случайных величин Х и Y.

B называются независимыми, если
P(AB) = P(A)·P(B).

Случайные величины  X и  Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.
Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих
F(x,y) = FХ(x)·FY(y).

Y
дискретные случайные величины


Случайные величины X и Y независимы

тогда и только тогда, когда для любых значений xi и yj выполнено
P(X = xi,Y = yj) = P(X = xi)·P(Y = yj).

Пусть X и Y
непрерывные случайные величины

Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда
fXY(x,y) = fX(x)·fY(y).

случайных величин X и Y называют число
cov(X,Y) = M((X−MX)·(Y−MY))

cov(X,Y) = MXY−MX·MY.

MXY=MX·MY+ cov(X,Y)

D(X + Y) = DX +DY + 2cov(X,Y)

некоррелированными.
Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из

некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин.
Для некоторых распределений понятия независимости и некоррелированности являются эквивалентными.
В частности, если случайные величины X и Y имеют нормальное распределение и ρXY = 0, то они независимы.

математическое ожидание случайной величины Y при условии, что Х приняла

одно из своих возможных значений;
Функция регрессии величины Y на Х;
Условное математическое ожидание случайной величины Y при условии Х - случайная величина;
Наилучшая в среднем квадратическом оценка величины Y по величине Х;
Формула полного математического ожидания.

и Y    σx - среднее квадратическое отклонение случайной величины X    σy -

среднее квадратическое отклонение случайной величины Y    mx- математическое ожидание случайной величины X    my - математическое ожидание случайной величины Y