Трехфазные электрические цепи

представляющих собой совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС

одинаковой частоты, различающиеся по фазе одна от другой и создаваемые общим источником энергии.
Каждую из частей многофазной системы, характеризующуюся одинаковым током, принято называть фазой. Таким образом, понятие "фаза" имеет в электротехнике два значения: первое – аргумент синусоидально изменяющейся величины, второе – часть многофазной системы электрических цепей. Цепи в зависимости от количества фаз называют двухфазными, трехфазными, шестифазными и т.п.

с однофазными цепями;
- возможность сравнительно простого получения кругового вращающегося

магнитного поля, необходимого для трехфазного двигателя;
- возможность получения в одной установке двух эксплуатационных напряжений – фазного и линейного.

экономичного генератора постоянного тока, однако невозможность централизованного производства и распределения

энергии (постоянный ток нельзя было трансформировать).
1888 г. – открытие явления вращающего магнитного поля (Г. Феррарис и Н. Тесла).
1891 г. – демонстрация преимуществ трехфазных цепей (электропередача на расстояние в 170 км, напряжение U =15кВ, КПД=75%) при участии М.О. Доливо-Добровольского.

из трех частей или, как их принято называть, фаз. Обмотки

фаз располагаются на статоре таким образом, чтобы их магнитные оси были сдвинуты в пространстве
относительно друг друга на угол 2π/3, т.е. на 120°. На рисунке каждая фаза обмотки статора условно показана состоящей из одного витка.
Начала фаз обозначены буквами A, B и C, а концы – X, Y, Z. Ротор 3 представляет собой электромагнит, возбуждаемый постоянным током обмотки возбуждения 4, расположенной на роторе.

ЭДС в каждой фазе принимают направление от конца к началу.

Обычно индуктированные в обмотках статора ЭДС имеют одинаковые амплитуды и сдвинуты по фазе относительно друг друга на один и тот же угол 120°.
Такая система ЭДС называется симметричной.

Трехфазная симметричная система ЭДС может изображаться графиками,
тригонометрическими функциями, векторами и функциями комплексного переменного.

фазы А) принять за исходную и считать её начальную фазу

равной нулю, то выражения мгновенных значений ЭДС можно записать в виде:
eA = Em sin ωt,
eB = Em sin (ωt - 120°),
eC = Em sin (ωt - 240°) = Em sin (ωt + 120°).

Из графика мгновенных значений следует
eA + eB + eC = 0
Комплексные действующие ЭДС будут иметь выражения:
ĖA = Em ej0° = Em (1 + j0), ĖB = Em e-j120° = Em (-1/2 - j/2), ĖC = Em e+j120° = Em (-1/2 + j/2).

в которой фазы обмотки генератора не были электрически соединены между

собой и каждая фаза соединялась со своим приемником двумя проводами. Такие системы не получили применения вследствие их неэкономичности: для соединения генератора с приемником требовалось шесть проводов.
Более совершенными и экономичными являются связанные цепи, в которых фазы обмотки электрически соединены между собой.
Существуют различные способы соединения фаз трехфазных источников питания и трехфазных потребителей электроэнергии. Наиболее распространенными являются соединения "звезда" и "треугольник".

– напряжение между началом и концом фазы или между линейным

проводом и нейтралью (UA, UB, UC у источника; Ua, Ub, Uc у приемника). Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазное напряжение в приемнике считают таким же, как и в источнике. (UA = Ua, UB = Ub, UC = Uc). За условно положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз. Линейное напряжение (UЛ) – напряжение между линейными проводами или между одноименными выводами разных фаз (UAB, UBC, UCA). Условно положительные направления линейных напряжений приняты от точек, соответствующих первому индексу, к точкам соответствующим второму индексу. По аналогии с фазными и линейными напряжениями различают также фазные и линейные токи: Фазные (IФ) – это токи в фазах генератора и приемников. Линейные (IЛ) – токи в линейных проводах. Ток, протекающий в нейтральном проводе, обозначают IN.

комплексной форме
İN = İA + İB + İC.
В соответствии с

выбранными условными положительными направлениями фазных и линейных напряжений можно записать уравнения по второму закону Кирхгофа.
ÚAB = ÚA - ÚB; ÚBC = ÚB - ÚC; ÚCA = ÚC - ÚA.
Согласно этим выражениям может быть построена векторная диаграмма, из которой видно, что при симметричной системе фазных напряжений система линейных напряжений тоже симметрична: UAB, UBC, UCA равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120° (общее обозначение UЛ), и опережают, соответственно, векторы фазных напряжений UA, UB, UC, (UФ) на угол 30°.
Действующие значения линейных напряжений можно определить графически по векторной диаграмме или по формуле, которая следует из треугольника, образованного векторами двух фазных и одного линейного напряжений:
UЛ = 2 UФ cos 30° или UЛ = √3 UФ.
Предусмотренные ГОСТом линейные и фазные напряжения для цепей низкого напряжения связаны между собой соотношениями:
UЛ = 660 В; UФ = 380 В; UЛ = 380 В; UФ = 220 В; UЛ = 220 В; UФ = 127 В.

быть либо однофазными, либо трехфазными.
К однофазным приемникам относятся электрические лампы

накаливания и другие осветительные приборы, различные бытовые приборы, однофазные двигатели и т.д.
К трехфазным приемникам относятся трехфазные асинхронные двигатели и индукционные печи.
Приемники могут быть либо симметричными, либо несимметричными. К симметричным относятся приемники с равными между собой комплексными сопротивлениями фаз: Za = Zb = Zc = Zejφ. Если это условие не выполняется, то приемники называют несимметричными.
В случае, если Za = Zb = Zc, то трехфазный приемник называют равномерным, если φa = φb = φc, то однородным.

трехфазной цепи применимы все методы, используемые для расчета линейных цепей.
Обычно

сопротивления проводов и внутреннее сопротивление генератора меньше сопротивлений приемников, поэтому для упрощения расчетов таких цепей (если не требуется большая точность) сопротивления проводов можно не учитывать (ZЛ = 0, ZN = 0). Тогда фазные напряжения приемника Ua, Ub и Uc будут равны соответственно фазным напряжениям источника электрической энергии (генератора или вторичной обмотки трансформатора),
т.е. Ua = UA; Ub = UB; Uc = UC.
Если полные комплексные сопротивления фаз приемника равны Za = Zb = Zc, то токи в каждой фазе можно определить по формулам, составленным согласно закона Ома для цепей переменного тока:
İa = Úa / Za; İb = Úb / Zb; İc = Úc / Zc.
В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в нейтральном проводе
İN = İa + İb + İc = İA + İB + İC.

когда Za=Zb=Zc, т.е. когда Ra=Rb=Rc=Rф и Xa=Xb=Xc=Xф, фазные токи равны

по значению и углы сдвига фаз одинаковы
Ia = Ib = Ic = Iф = Uф / Zф,
φa = φb = φc = φ = arctg (Xф/Rф).
Построив векторную диаграмму токов для симметричного приемника, легко установить, что геометрическая сумма трех векторов тока равна нулю:
İa + İb + İc = 0.
Следовательно, в случае симметричной нагрузки ток в нейтральном проводе IN = 0, поэтому необходимость в нейтральном проводе отпадает.

когда Za ≠ Zb ≠ Zc и φa ≠ φb ≠ φc токи в фазах потребителя различны и

определяются по закону Ома
İa = Úa / Za; İb = Úb / Zb; İc = Úc / Zc.
Ток в нейтральном проводе İN равен геометрической сумме фазных токов
İN = İa + İb + İc.
Напряжения будут Ua=UA; Ub=UB; Uc=UC, UФ=UЛ /√3, благодаря нейтральному проводу при ZN = 0.
Следовательно, нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.
Поэтому в четырехпроводную сеть включают однофазные несимметричные нагрузки, например, электрические лампы накаливания. Режим работы каждой фазы нагрузки, находящейся под неизменным фазным напряжением генератора, не будет зависеть от режима работы других фаз.

нейтрального провода

N и нейтральной точкой приемника n равно нулю, UnN = 0.
Соотношение между

фазными и линейными напряжениями приемника также равно √3, т.е. UФ = UЛ/√3, а токи в фазах определяются по тем же формулам, что и для четырехпроводной цепи. В случае симметричного приемника достаточно определить ток только в одной из фаз. Сдвиг фаз между током и соответствующим напряжением φ = arctg (X / R).
При несимметричной нагрузке Za ≠ Zb ≠ Zc между нейтральными точками приемника и источника электроэнергии возникает напряжение смещения нейтрали UnN.
Для определения напряжения смещения нейтрали можно воспользоваться формулой межузлового напряжения



где: Ya = 1/Za; Yb=1/Zb; Yc=1/Zc – комплексы проводимостей фаз нагрузки.
Очевидно, что теперь напряжения на фазах приемника будут отличаться друг от друга. Из второго закона Кирхгофа следует, что
Úa = ÚA - ÚnN; Úb = ÚB - ÚnN; Úc = ÚC - ÚnN.
Зная фазные напряжения приемника, можно определить фазные токи:
İa = Úa / Za; İb = Úb / Zb; İc = Úc / Zc.
Векторы фазных напряжений можно определить графически, построив векторную (топографическую) диаграмму фазных напряжений источника питания и UnN.

UnN может изменяться в широких пределах. При этом нейтральная точка

приемника n на диаграмме может занимать разные положения, а фазные напряжения приемника Úa, Úb и Úc могут отличаться друг от друга весьма существенно.
Таким образом, при симметричной нагрузке нейтральный провод можно удалить и это не повлияет на фазные напряжения приемника. При несимметричной нагрузке и отсутствии нейтрального провода фазные напряжения нагрузки уже не связаны жестко с фазными напряжениями генератора, так как на нагрузку воздействуют только линейные напряжения генератора. Несимметричная нагрузка в таких условиях вызывает несимметрию ее фазных напряжений Úa, Úb, Úc и смещение ее нейтральной точки n из центра треугольника напряжений (смещение нейтрали).
Направление смещения нейтрали зависит от последовательности фаз системы и характера нагрузки.
Поэтому нейтральный провод необходим для того, чтобы:
выравнивать фазные напряжения приемника при несимметричной нагрузке;
подключать к трехфазной цепи однофазные приемники с номинальным напряжением в раз меньше номинального линейного напряжения сети.
Следует иметь в виду, что в цепь нейтрального провода нельзя ставить предохранитель, так как перегорание предохранителя приведет к разрыву нейтрального провода и появлению значительных перенапряжений на фазах нагрузки.

это напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником линейное

напряжение источника равно фазному напряжению потребителя.
UЛ = UФ.
Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные напряжения потребителя можно приравнять линейным напряжениям источника питания: Uab = UAB, Ubc = UBC, Uca = UCA. По фазам Zab, Zbc, Zca приемника протекают фазные токи İab, İbc и İca. Условное положительное направление фазных напряжений Úab, Úbc и Úca совпадает с положительным направлением фазных токов. Условное положительное направление линейных токов İA, İB и İC принято от источников питания к приемнику.
В отличие от соединения звездой при соединении треугольником фазные токи не равны линейным. Токи в фазах приемника определяются по формулам
İab = Úab / Zab; İbc = Úbc / Zbc; İca = Úca / Zca.
Линейные токи можно определить по фазным, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c
İA = İab - İca; İB = İbc - İab; İC = İca - İbc.
Сложив левые и правые части системы уравнений, получим
İA + İB + İC = 0,
т.е. сумма комплексов линейных токов равна нулю как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке.

Zbc = Zca = Zejφ,
т.е. Zab = Zbc = Zca

= Z, φab = φbc = φca = φ.
Так как линейные (они же фазные) напряжения UAB, UBC, UCA симметричны, то и фазные токи образуют симметричную систему
İab = Úab / Zab; İbc = Úbc / Zbc; İca = Úca / Zca.
Абсолютные значения их равны, а сдвиги по фазе относительно друг друга составляют 120°.
Линейные токи
İA = İab - İca; İB = İbc - İab; İC = İca - İbc;
образуют также симметричную систему токов.
При соединении треугольником действующее значение линейного тока при симметричной нагрузке в √3 раз больше действующего значения фазного тока и UЛ = UФ; IЛ = √3 IФ.
При равномерной нагрузке фаз расчет трехфазной цепи соединенной треугольником, можно свести к расчету одной фазы.
При несимметричной нагрузке симметрия фазных токов İab, İbс, İca нарушается, поэтому линейные токи İA, İB, İC можно определить только расчетом по вышеприведенным уравнениям.
Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз остается неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными. Будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединенных с этой фазой. Поэтому схема соединения треугольником широко используется для включения несимметричной нагрузки.
При расчете для несимметричной нагрузки сначала определяют значения фазных токов İab, İbc, İca и соответствующие им сдвиги фаз φab, φbc, φca. Затем определяют линейные токи с помощью уравнений в комплексной форме или с помощью векторных диаграмм.

процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий магнитодвижущей

силы, магнитного потока и разности магнитных потенциалов.
Различают: - магнитные цепи с постоянными магнитами;
- магнитные цепи, в которых магнитный поток создается постоянным или переменным током, протекающим в одной или нескольких обмотках, размещённых на ферромагнитных сердечниках.

– воздушный (регулируемый) зазор.

имеет одинаковое сечение, то она называется однородной.
Магнитная цепь, содержащая материалы

с различными магнитными свойствами или имеющая воздушные зазоры, называется неоднородной.
Магнитная цепь, во всех сечениях которой магнитный поток Ф одинаков, называется неразветвлённой.
В разветвлённой магнитной цепи потоки на различных участках неодинаковы.

обмоток контура и напряженностью магнитного поля вдоль этого контура: линейный

интеграл вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура равен полному току, заключенному в этом контуре:



где - магнитодвижущая сила (МДС) в амперах [А]; - полный ток (алгебраическая сумма токов) в контуре (ток Ik берут со знаком "плюс", если его направление и направление обхода контура при интегрировании связаны правилом правоходового винта, и наоборот); w - число токов, пересекающих контур.

и соответственно магнитных потоков. Для составления системы уравнений по законам

Кирхгофа нужно знать направления токов в катушках, а также выбрать условные положительные направления магнитных потоков.
Запишем первый закон Кирхгофа для условного узла 1 магнитной цепи

т. е. алгебраическая сумма магнитных потоков в узле разветвления равна нулю.
Под условным узлом разветвления магнитной цепи подразумевается точка, в которой сходятся три или большее число средних линий магнитного потока.

несколькими обмотками и с участками с различными магнитными свойствами и

площадями сечений магнитных потоков

+ Hδδ = w1I1 - w2I2.
После несложных преобразований получим уравнение,

называемое вторым законом Кирхгофа для магнитной цепи:

U1M + U2M + UδM = F1 - F2,

где UkM - магнитные напряжения в амперах (А) на отдельных участках магнитной цепи; F1 и F2 - МДС обмоток.

Сформулируем второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма МДС катушек в замкнутой магнитной цепи (контуре) равна алгебраической сумме магнитных напряжений вдоль этой цепи.

однородной магнитной цепи с параметрами: lM - средняя длина магнитной

силовой линии (м. с. л.), м; S1 – площадь сечения ферромагнитного сердечника, м2; I - постоянный ток в катушке с числом витков w и найдем магнитный поток Ф в сердечнике (потоками рассеяния пренебрегаем):

где Hср = Вср/μa и Вср = Ф/S1 - средние напряжённость и индукция магнитного поля в сердечнике.

Закон полного тока для однородной магнитной цепи и получим:






названное законом

Ома для однородной магнитной цепи,
где F = wI [А] - МДС катушки;

- магнитное сопротивление цепи, 1/Гн.

уравнения второго закона Кирхгофа на магнитный поток Ф, получим закон

Ома для неоднородной магнитной цепи:
     



Ф = F/RМЭ,

где RМЭ = R1M + R2M + RδM - эквивалентное магнитное сопротивление цепи.

неразветвлённой магнитной цепи часто пренебрегают магнитными потоками рассеяния и учитывают

только магнитный поток вдоль основной магнитной цепи, принимая его неизменным во всех её сечениях.
2. Всю МДС вдоль замкнутой магнитной цепи представляют в виде алгебраической суммы МДС на отдельных разнородных участках магнитной цепи.
3. В силу малости воздушных промежутков в простых магнитных цепях часто пренебрегают «выпучиванием» в них магнитного поля, считая поперечное сечение магнитного потока в зазоре таким же, как в магнитопроводе.
В сложных магнитных цепях нельзя пренебрегать потоками рассеяния и магнитным состоянием ферромагнетиков при неоднородном намагничивании: магнитную цепь приходится рассматривать как цепь с распределёнными параметрами, используя методы расчёта электромагнитных полей, в т. ч. метод последовательных приближений, метод конечных элементов и др.

задачу (задачу синтеза);

- обратную задачу (задачу анализа магнитной цепи).

её участков - кривые намагничивания В(Н) (например, все они изготовлены

из электротехнической стали 1411).
Определить:
магнитодвижущую силу (МДС) F обмотки, необходимую для создания магнитного потока Ф в зазоре.

участках цепи:
B1 = Ф / S1; Bδ = Ф

/ Sd; B1 = Bδ.
2. Напряжённость магнитного поля на участке lM найдем по кривой намагничивания:
например, для стали 1411 при B1 = 1,4 Тл, H1  1200 А/м (см. рис.);
для воздушного зазора напряжённость Hδ = Bδ/μ0  8*105*Bδ.
3. Согласно закону полного тока МДС обмотки с числом витков w:
F = H1lM + Hδδ = wI.
4. Выбрав значение тока I, определяют число витков w катушки, или, наоборот, выбрав число витков w катушки, находят значение тока I.

Для приближенных расчётов принимают
магнитную индукцию B » 1,2…1,3 Тл
диаметр стержня d » 0,05 м, где S - мощность устройства в кВ*А.

том, что переменные токи в обмотках и магнитные потоки в

сердечниках взаимосвязаны.
С одной стороны, магнитные потоки зависят от токов в обмотках, и при анализе цепей приходится в значительной мере пользоваться методами, разработанными для магнитных цепей с постоянными магнитными потоками.
С другой стороны, токи в обмотках зависят от характера изменения магнитных потоков, и это весьма усложняет исследования.

(закон электромагнитной индукции).
В контуре, движущемся в неизменном поле так, что

его стороны пересекают магнитные линии, или в контуре, помещенном в изменяющееся во времени магнитное поле, индуктируется ЭДС, численно равная скорости изменения во времени магнитного потока, пронизывающего этот контур:

же потоком, индуктированная в нем ЭДС равна:



Часто различные группы

витков одной и той же катушки пронизываются различными потоками Ф1, Ф2, …; в этом случае полная ЭДС катушки равна сумме ЭДС отдельных групп витков.
Сумму магнитных потоков, сцепленных с каждым из витков, называют магнитным потокосцеплением Ψ. Произведения W*Ф являются потокосцеплениями соответствующих групп витков.

Общие сведения

тока, состоящую из катушки с ферромагнитным сердечником, к зажимам которой

приложено синусоидальное напряжение.

На схеме: Ф – основной магнитный поток, замыкающийся по сердечнику, Фs – магнитный поток рассеяния, замыкающийся через воздух (поток рассеяния может быть сцеплен лишь с частью витков обмотки).