Разделы презентаций


Тригонометрические функции

Содержание

ВведениеОпределение тригонометрических функцийСвойства тригонометрических функцийПростейшие тождестваНепрерывностьЧётностьПериодичностьФормулы приведенияФормулы сложенияФормулы для кратных углов1.Формулы двойного угла2.Формулы тройного угла3.Прочие формулы для кратных угловСодержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Тригонометрические функции
Работу выполнили студентки ФСПО 3 курса 34 группы
Савельева

М.А.
Васильева А.А.

Тригонометрические функцииРаботу выполнили студентки ФСПО 3 курса 34 группы Савельева М.А.Васильева А.А.

Слайд 2Введение
Определение тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций
Простейшие тождества
Непрерывность
Чётность
Периодичность
Формулы приведения
Формулы сложения
Формулы для кратных

углов
1.Формулы двойного угла
2.Формулы тройного угла
3.Прочие формулы для кратных углов












Содержание

ВведениеОпределение тригонометрических функцийСвойства тригонометрических функцийПростейшие тождестваНепрерывностьЧётностьПериодичностьФормулы приведенияФормулы сложенияФормулы для кратных углов1.Формулы двойного угла2.Формулы тройного угла3.Прочие формулы для

Слайд 3Формулы половинного угла
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла
Произведения
1.Формулы для произведений функций

двух углов
2.Формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов
Степени
Суммы
Однопараметрическое представление
Знаки

тригонометрических функций
Значения тригонометрических функций
Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента








Содержание

Формулы половинного углаФормулы половинного углаФормулы половинного углаПроизведения1.Формулы для произведений функций двух углов2.Формулы для произведений синусов и косинусов

Слайд 4Преобразование суммы тригонометрических функций
Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного

аргумента
Преобразование степеней синуса и косинуса
График функции y =

sin(x)
Основные свойства функции y = sin(x).
Функция косинус y = cos(x).
Свойства функции косинус y = cosx
Основные свойства функции y = tg(x).
График функции y = tg(x).
Функция котангенс y = ctg(x).
Свойства функции котангенс y = ctgx.






Содержание

Преобразование суммы тригонометрических функций Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента Преобразование степеней синуса и косинуса График

Слайд 5Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Функция арксинус y =

arcsin(x)
Свойства функции арксинус y = arcsin(x)
Функция арккосинус y = arccos(x)
Свойства

функции арккосинус y = arccos(x)
Функция арктангенс y = arctg(x)
Свойства функции арктангенс y = arctg(x)
Функция арккотангенс y = arcctg(x)
Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x)
Способы определения
Определение тригонометрических функций через окружность
Производные и интегралы
Заключение
Литература


Содержание

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графикиФункция арксинус y = arcsin(x)Свойства функции арксинус y = arcsin(x)Функция арккосинус

Слайд 6Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение

треугольников В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников,

т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.


Введение

Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников В данном случае измерение треугольников следует понимать

Слайд 7Определение тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций

Слайд 8К тригонометрическим функциям относятся:
прямые тригонометрические функции
синус (sin x)
косинус (cos x)
производные

тригонометрические функции
тангенс (tg x)
котангенс (ctg x)
другие тригонометрические функции
секанс (sec x)
косеканс

(cosec x)
 
К тригонометрическим функциям относятся: прямые тригонометрические функциисинус (sin x)косинус (cos x)производные тригонометрические функциитангенс (tg x)котангенс (ctg x)другие

Слайд 9Простейшие тождества
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой

точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению

единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Свойства тригонометрических функций

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Простейшие тождестваПоскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α,

Слайд 10Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем

далее:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Слайд 11Непрерывность
Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют

точки разрыва
котангенс и косеканс —

НепрерывностьСинус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Слайд 12Чётность
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные,

то есть:

ЧётностьКосинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Слайд 13Периодичность
Функции
— периодические с периодом 2π;
функции
— c периодом π.

ПериодичностьФункции — периодические с периодом 2π;функции — c периодом π.

Слайд 14Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Формулы приведенияФормулами приведения называются формулы следующего вида:

Слайд 15Формулы сложения
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Формулы сложенияЗначения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Слайд 16Формулы для кратных углов
Формулы двойного угла:

Формулы для кратных угловФормулы двойного угла:

Слайд 17Формулы тройного угла

Формулы тройного угла

Слайд 18Прочие формулы для кратных углов

Прочие формулы для кратных углов

Слайд 19Формулы половинного угла:

Формулы половинного угла:

Слайд 20
Произведения
Формулы для произведений функций двух углов

ПроизведенияФормулы для произведений функций двух углов

Слайд 21 Формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов

Формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов

Слайд 22Степени

Степени

Слайд 23Суммы

Суммы

Слайд 24Однопараметрическое представление
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Однопараметрическое представлениеВсе тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Слайд 25Знаки тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Слайд 26Значения тригонометрических функций


Значения тригонометрических функций

Слайд 27Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента



Через
Через

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента ЧерезЧерез

Слайд 28Через
Через

Через Через

Слайд 29Преобразование суммы тригонометрических функций

Преобразование суммы тригонометрических функций

Слайд 30Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Слайд 31Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента

Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента

Слайд 32Преобразование степеней синуса и косинуса

Преобразование степеней синуса и косинуса

Слайд 33Синусом числа х (sin x) называется ордината точки тригонометрического круга,

полученной поворотом точки (1;0) на х рад против часовой стрелки
График

функции y = sin(x).
Синусом числа х (sin x) называется ордината точки тригонометрического круга, полученной поворотом точки (1;0) на х рад

Слайд 341. Областью определения функции является множество всех действительных чисел:
2. Областью

значений функции
является множество значений всех чисел отрезка на интервале

[−1;1], значит, синус — функция ограниченная.
3. Функция нечетная:
График нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки О.
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 2π:

Основные свойства функции y = sin(x).

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел:2. Областью значений функции является множество значений всех чисел

Слайд 358. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках
9. Функция

убывает от 1 до −1 на промежутках:
10. Наибольшее значение

sin x = 1 функция приобретает в точках:

11. Наименьшее значение sin x = −1 функция приобретает в точках:

8. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках9. Функция убывает от 1 до −1 на промежутках:

Слайд 36Функция косинус y = cos(x).

Функция косинус y = cos(x).

Слайд 371.Область определения функции косинус:
2.Наименьший положительный период функции y = cosx

равен двум пи:
3. Функция обращается в ноль при
где , Z

– множество целых чисел.
4. Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
5. Функция косинус - четная, так как .
6. Функция убывает при возрастает при

7. Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках

локальные минимумы в точках

Свойства функции косинус y = cosx

1.Область определения функции косинус:2.Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи:3. Функция обращается в ноль

Слайд 381. Областью определения функции является множество всех действительных чисел кроме:


2. Областью значений функции
является множество значений всех чисел, таким

образом, тангенс — функция неограниченная.
3. Функция нечетная:
4.График нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки О.
5. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = π, то есть,

из области определения .


Основные свойства функции y = tg(x).

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел кроме: 2. Областью значений функции является множество значений

Слайд 39График функции y = tg(x).

График функции y = tg(x).

Слайд 40Функция котангенс y = ctg(x).

Функция котангенс y = ctg(x).

Слайд 411.Область определения функции котангенс:

2. Поведение на границе области определения


3.Наименьший положительный

период функции y = ctgx равен пи:

4.Функция обращается в ноль

при

5.Область значений функции котангенс:

Свойства функции котангенс y = ctgx.

Z – множество целых чисел.

1.Область определения функции котангенс:2. Поведение на границе области определения3.Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи:4.Функция

Слайд 426. Функция нечетная, так как
7. Функция y = ctgx убывает

при
8. Функция котангенс вогнутая при
выпуклая при
9. Координаты точек

перегиба

10. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

6. Функция нечетная, так как7. Функция y = ctgx убывает при8. Функция котангенс вогнутая при выпуклая при

Слайд 43Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным

элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют

аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки

Слайд 44Функция арксинус y = arcsin(x).

Функция арксинус y = arcsin(x).

Слайд 45Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до

единицы включительно:
Область значений функции y = arcsin(x):
Функция арксинус

- нечетная, так как
Функция вогнутая при
выпуклая при
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
Асимптот нет.



Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: Область значений функции y =

Слайд 46Функция арккосинус y = arccos(x)

Функция арккосинус y = arccos(x)

Слайд 47Область определения функции арккосинус:
Область значений функции y = arccos(x):
Функция

не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего

вида
Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при
Функция вогнутая при
выпуклая при

Точка перегиба
Асимптот нет

Свойства функции арккосинус y = arccos(x)

Область определения функции арккосинус:Область значений функции y = arccos(x): Функция не является ни четной ни нечетной, то

Слайд 48Функция арктангенс y = arctg(x)

Функция арктангенс y = arctg(x)

Слайд 49Область определения функции y = arctg(x):
Область значений функции арктангенс:
Функция

арктангенс - нечетная, так как

Функция возрастает на всей области

определения, то есть, при
Функция арктангенс вогнутая при
выпуклая при
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции
Горизонтальными асимптотами являются прямые

Свойства функции арктангенс y = arctg(x)

Область определения функции y = arctg(x): Область значений функции арктангенс:Функция арктангенс - нечетная, так как Функция возрастает

Слайд 50Функция арккотангенс y = arcctg(x)

Функция арккотангенс y = arcctg(x)

Слайд 51Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел

Область значений

функции y = arcctg(x)
Функция арккотангенс не является ни четной ни

нечетной, то есть, она общего вида.
Функция убывает на всей области определения, то есть, при
Функция вогнутая при выпуклая при

Точка перегиба
Горизонтальными асимптотами являются прямые

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x)

y = 0

Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чиселОбласть значений функции y = arcctg(x)Функция арккотангенс не является

Слайд 52Геометрическое определение
Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла α, возьмём произвольный

прямоугольный треугольник, содержащий угол α. Стороны этого треугольника мы будем

называть так:

Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона c.

Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет a — противолежащий по отношению к углу A.

Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет b — прилежащий по отношению к углу A.

Способы определения

Геометрическое определениеЧтобы определить тригонометрические функции произвольного угла α, возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол α. Стороны этого

Слайд 54Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус угла —

отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс угла — отношение противолежащего

катета к прилежащему:

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему:

Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету

Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету:

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Тангенс угла

Слайд 55Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в

точке O и с осями OX и OY. Возьмём в

этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OA поворачивается на произвольный угол вокруг центра O. .

Определение тригонометрических функций через окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и

Слайд 57Синусом угла называется отношение ординаты точки A к длине отрезка

OA. Обозначают
Косинусом угла называется отношение абсциссы точки A к длине

отрезка OA. Обозначают

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают

Синусом угла называется отношение ординаты точки A к длине отрезка OA. ОбозначаютКосинусом угла называется отношение абсциссы точки

Слайд 59Косекансом угла называется отношение длины отрезка OA к ординате точки

A. Обозначают
Секансом угла называется отношение длины отрезка OA к

абсциссе точки A. Обозначают
Косекансом угла называется отношение длины отрезка OA к ординате точки A. Обозначают Секансом угла называется отношение длины

Слайд 60Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области

определения:

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:Производные и интегралы

Слайд 61Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции

следующим образом:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

Слайд 62История названий
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»,

то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и

линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Заключение

История названийЛиния синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха»

Слайд 63Литература
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник

по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство

технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
[Ссылки
GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Интерактивная карта значений тригонометрических функций
ЛитератураБронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. —

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика