Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Тригонометрические функции
Содержание
- 1. Тригонометрические функции
- 2. ВведениеОпределение тригонометрических функцийСвойства тригонометрических функцийПростейшие тождестваНепрерывностьЧётностьПериодичностьФормулы приведенияФормулы
- 3. Формулы половинного углаФормулы половинного углаФормулы половинного углаПроизведения1.Формулы
- 4. Преобразование суммы тригонометрических функций Выражение тригонометрической функции
- 5. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графикиФункция
- 6. Тригонометрия - слово греческое и в буквальном
- 7. Определение тригонометрических функций
- 8. К тригонометрическим функциям относятся: прямые тригонометрические функциисинус
- 9. Простейшие тождестваПоскольку синус и косинус являются соответственно
- 10. Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
- 11. НепрерывностьСинус и косинус — непрерывные функции. Тангенс
- 12. ЧётностьКосинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
- 13. ПериодичностьФункции — периодические с периодом 2π;функции — c периодом π.
- 14. Формулы приведенияФормулами приведения называются формулы следующего вида:
- 15. Формулы сложенияЗначения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
- 16. Формулы для кратных угловФормулы двойного угла:
- 17. Формулы тройного угла
- 18. Прочие формулы для кратных углов
- 19. Формулы половинного угла:
- 20. ПроизведенияФормулы для произведений функций двух углов
- 21. Формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов
- 22. Степени
- 23. Суммы
- 24. Однопараметрическое представлениеВсе тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
- 25. Знаки тригонометрических функций
- 26. Значения тригонометрических функций
- 27. Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента ЧерезЧерез
- 28. Через Через
- 29. Преобразование суммы тригонометрических функций
- 30. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
- 31. Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента
- 32. Преобразование степеней синуса и косинуса
- 33. Синусом числа х (sin x) называется ордината
- 34. 1. Областью определения функции является множество всех
- 35. 8. Функция возрастает от −1 до 1
- 36. Функция косинус y = cos(x).
- 37. 1.Область определения функции косинус:2.Наименьший положительный период функции
- 38. 1. Областью определения функции является множество всех
- 39. График функции y = tg(x).
- 40. Функция котангенс y = ctg(x).
- 41. 1.Область определения функции котангенс:2. Поведение на границе
- 42. 6. Функция нечетная, так как7. Функция y
- 43. Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и
- 44. Функция арксинус y = arcsin(x).
- 45. Областью определения функции арксинус является интервал от
- 46. Функция арккосинус y = arccos(x)
- 47. Область определения функции арккосинус:Область значений функции y
- 48. Функция арктангенс y = arctg(x)
- 49. Область определения функции y = arctg(x): Область
- 50. Функция арккотангенс y = arcctg(x)
- 51. Областью определения функции арккотангенс является все множество
- 52. Геометрическое определениеЧтобы определить тригонометрические функции произвольного угла
- 53. Слайд 53
- 54. Синус угла — отношение противолежащего катета к
- 55. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат
- 56. Слайд 56
- 57. Синусом угла называется отношение ординаты точки A
- 58. Слайд 58
- 59. Косекансом угла называется отношение длины отрезка OA
- 60. Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:Производные и интегралы
- 61. Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
- 62. История названийЛиния синуса у индийских математиков первоначально
- 63. ЛитератураБронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная
- 64. Скачать презентанцию
ВведениеОпределение тригонометрических функцийСвойства тригонометрических функцийПростейшие тождестваНепрерывностьЧётностьПериодичностьФормулы приведенияФормулы сложенияФормулы для кратных углов1.Формулы двойного угла2.Формулы тройного угла3.Прочие формулы для кратных угловСодержание
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Введение
Определение тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций
Простейшие тождества
Непрерывность
Чётность
Периодичность
Формулы приведения
Формулы сложения
Формулы для кратных
углов
1.Формулы двойного угла
2.Формулы тройного угла
3.Прочие формулы для кратных углов
Содержание
Слайд 3Формулы половинного угла
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла
Произведения
1.Формулы для произведений функций
двух углов
2.Формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов
Степени
Суммы
Однопараметрическое представление
Знаки
тригонометрических функций Значения тригонометрических функций
Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента
Содержание
Слайд 4Преобразование суммы тригонометрических функций
Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного
аргумента
Преобразование степеней синуса и косинуса
График функции y =
sin(x)Основные свойства функции y = sin(x).
Функция косинус y = cos(x).
Свойства функции косинус y = cosx
Основные свойства функции y = tg(x).
График функции y = tg(x).
Функция котангенс y = ctg(x).
Свойства функции котангенс y = ctgx.
Содержание
Слайд 5Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Функция арксинус y =
arcsin(x)
Свойства функции арксинус y = arcsin(x)
Функция арккосинус y = arccos(x)
Свойства
функции арккосинус y = arccos(x)Функция арктангенс y = arctg(x)
Свойства функции арктангенс y = arctg(x)
Функция арккотангенс y = arcctg(x)
Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x)
Способы определения
Определение тригонометрических функций через окружность
Производные и интегралы
Заключение
Литература
Содержание
Слайд 6Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение
треугольников В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников,
т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
Введение
Слайд 8К тригонометрическим функциям относятся:
прямые тригонометрические функции
синус (sin x)
косинус (cos x)
производные
тригонометрические функции
тангенс (tg x)
котангенс (ctg x)
другие тригонометрические функции
секанс (sec x)
косеканс
(cosec x)
Слайд 9Простейшие тождества
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой
точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению
единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:Свойства тригонометрических функций
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Слайд 11Непрерывность
Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют
точки разрыва
котангенс и косеканс —
Слайд 24Однопараметрическое представление
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
Слайд 33Синусом числа х (sin x) называется ордината точки тригонометрического круга,
полученной поворотом точки (1;0) на х рад против часовой стрелки
График
функции y = sin(x).
Слайд 341. Областью определения функции является множество всех действительных чисел:
2. Областью
значений функции
является множество значений всех чисел отрезка на интервале
[−1;1], значит, синус — функция ограниченная. 3. Функция нечетная:
График нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки О.
4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 2π:
Основные свойства функции y = sin(x).
Слайд 358. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках
9. Функция
убывает от 1 до −1 на промежутках:
10. Наибольшее значение
sin x = 1 функция приобретает в точках:11. Наименьшее значение sin x = −1 функция приобретает в точках:
Слайд 371.Область определения функции косинус:
2.Наименьший положительный период функции y = cosx
равен двум пи:
3. Функция обращается в ноль при
где , Z
– множество целых чисел. 4. Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
5. Функция косинус - четная, так как .
6. Функция убывает при возрастает при
7. Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках
локальные минимумы в точках
Свойства функции косинус y = cosx
Слайд 381. Областью определения функции является множество всех действительных чисел кроме:
2. Областью значений функции
является множество значений всех чисел, таким
образом, тангенс — функция неограниченная. 3. Функция нечетная:
4.График нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки О.
5. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = π, то есть,
из области определения .
Основные свойства функции y = tg(x).
Слайд 411.Область определения функции котангенс:
2. Поведение на границе области определения
3.Наименьший положительный
период функции y = ctgx равен пи:
4.Функция обращается в ноль
при 5.Область значений функции котангенс:
Свойства функции котангенс y = ctgx.
Z – множество целых чисел.
Слайд 426. Функция нечетная, так как
7. Функция y = ctgx убывает
при
8. Функция котангенс вогнутая при
выпуклая при
9. Координаты точек
перегиба 10. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
Слайд 43Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным
элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют
аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Слайд 45Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до
единицы включительно:
Область значений функции y = arcsin(x):
Функция арксинус
- нечетная, так какФункция вогнутая при
выпуклая при
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
Асимптот нет.
Свойства функции арксинус y = arcsin(x).
Слайд 47Область определения функции арккосинус:
Область значений функции y = arccos(x):
Функция
не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего
видаФункция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при
Функция вогнутая при
выпуклая при
Точка перегиба
Асимптот нет
Свойства функции арккосинус y = arccos(x)
Слайд 49Область определения функции y = arctg(x):
Область значений функции арктангенс:
Функция
арктангенс - нечетная, так как
Функция возрастает на всей области
определения, то есть, при Функция арктангенс вогнутая при
выпуклая при
Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции
Горизонтальными асимптотами являются прямые
Свойства функции арктангенс y = arctg(x)
Слайд 51Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел
Область значений
функции y = arcctg(x)
Функция арккотангенс не является ни четной ни
нечетной, то есть, она общего вида. Функция убывает на всей области определения, то есть, при
Функция вогнутая при выпуклая при
Точка перегиба
Горизонтальными асимптотами являются прямые
Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x)
y = 0
Слайд 52Геометрическое определение
Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла α, возьмём произвольный
прямоугольный треугольник, содержащий угол α. Стороны этого треугольника мы будем
называть так:Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона c.
Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет a — противолежащий по отношению к углу A.
Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет b — прилежащий по отношению к углу A.
Способы определения
Слайд 54Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус угла —
отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс угла — отношение противолежащего
катета к прилежащему:Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему:
Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету
Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету:
Слайд 55Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в
точке O и с осями OX и OY. Возьмём в
этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OA поворачивается на произвольный угол вокруг центра O. .Определение тригонометрических функций через окружность
Слайд 57Синусом угла называется отношение ординаты точки A к длине отрезка
OA. Обозначают
Косинусом угла называется отношение абсциссы точки A к длине
отрезка OA. Обозначают Тангенсом угла называется отношение ординаты точки A к абсциссе точки A. Обозначают
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки A к ординате точки A. Обозначают
Слайд 59Косекансом угла называется отношение длины отрезка OA к ординате точки
A. Обозначают
Секансом угла называется отношение длины отрезка OA к
абсциссе точки A. Обозначают 
Слайд 60Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области
определения:
Производные и интегралы
Слайд 61Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции
следующим образом:
Слайд 62История названий
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»,
то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и
линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.Заключение
Слайд 63Литература
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник
по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
[Ссылки
GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Интерактивная карта значений тригонометрических функций
