Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы

Разложение на множители (использование равенства 0 произведения (частного)).
Замена переменных

.
а) сведение к квадратным (степенным) и др.;
б) универсальная подстановка;
в) подстановка sinx+cosx=t;.
Введение вспомогательного угла для уравнений вида asinx+bcosx=c (замена числовых данных)
Деление (умножение) на тригонометрические функции.
а) однородные уравнения делением на cosn α;
б) произведения косинусов удваивающихся аргументов домножением на 2nsinα;
Возведение в квадрат.
Метод оценки (использование свойств тригонометрических функций).
Графический метод.

простейших тр. ур.
С помощью координатной окружности.
Графическое решение.
Аналитический способ: решить уравнение

sinx=a
] (|a|≤1),
]x0=α - одно из решений, которое обязательно сущ., т.к. |a|≤1,
причём αє[-π/2;π/2]
Тогда sin α =a, но sinx=a → sinx=sin α ; sinx-sin α =0; 2sin (x-α)/2 · ·cos (x- α)/2 =0;

неравносильного перехода к совокупности уравнений

f(x)g(x)=0 (1)

сокращ. умн.)
а.) с использованием тригонометрической единицы
(2sinx-cosx)(1+cosx)=sin2x
(1+cosx)(2sinx - cosx -1 +

cosx) = 0;







!!! Совокупность тр.ур. может быть с одинаковыми индексами!!!

сокращ. умн.)
b.) c использованием формул суммы и разности для уравнений

вида
sin f(x) =sin g(x) ; cos f(x) =cos g(x)
Пр.: sin πx2 = sin π(x2+2x)
sin πx2 - sin π(x2+2x) = 0;
2∙cos π(x2+x) ∙ sin πx = 0;


3+4n ≥ 0; n ≥ -¾ → n є ?
→ n є N U {0}
Ответ. {n; n є N U{0}}
{l; n є N U{0}; l є Z}
!!!Совокупность тр.ур. иногда должна быть с разными индексами!!!
с.) использование формул приведения для решения уравнений вида
sin f(x) =cos g(x)
→ sin f(x) = sin ( - g(x)) → sin f(x) - sin ( - g(x)) = 0

cos 4x ∙ cos7x

ответ.{πk/10, kєZ}
tg(x2-x) ∙ ctg2 = 1 (2 способа) ответ.


2 соs (3x/2) ∙ cos (x/2) = a;
ответ. а є[-9/8; 2]; х є{±arccos }
e.) использование формул понижения степени.
sin2x + sin2 2x = sin2 3x + sin2 4x

виду одной тригонометрической функции)
a sinу+b cosy =




a=4; b=3 → √25sin(2x+arcsin3/5)=5;


Ответ.

- (*) - однородное уравнение 2 степени
]sinx=0, тогда

из ур-ния(*): cosx=0, чего при одном и том же х быть не может(из основного тригонометрического тождества)→
→поделим на sin2x≠0 : ctg2x-4ctgx+4=0; (ctgx-2)2=0; ctgx=2;
Ответ. х = arcctg2+πn, nєZ

4sin2x=5-3cos2x| 2;
16sin22x=25-30cos2x+9cos22x; 16-16cos22x=25-30cos2x+9cos22x;
25cos22x-30cos2x+9=0;

(5cos2x-3)2=0; cos2x=3/5;


!!! Проверка!!!
(при возведении в квадрат- взятии неинъективной функции на объединении ОЗ правой и левой частей уравнения - могли появиться лишние корни)
]


]

Ответ.

ОДЗ, можно потерять корни, не вошедшие в новое ОДЗ)
]х=π/2+πk; 4

sin2(π/2+πk)+3cos2(π/2+πk)=4sin π+3cos π=0-3≠5

arcctg2+πn, nєZ

или x = arctg1/2+πk,

kєZ.

МЗФ

b) 5sinx=13-7cosx
6 сos2 5x – 5 cosx + 5 = 0;
6сos25x = 5(cosx-1);
6сos25x ≥0 ; cosx-1 ≤0;



Ответ. Корней нет.
Использование монотонности тригонометрических функций
sinx = 2sin470cos440
sin470 >sin 450,
cos 440>cos450; 2sin470cos440 > 2sin450cos450 =1; корней нет.

sinx+cosx≤2
!!!Используется не столько МЗФ, сколько ограниченность

Ответ. Корней нет.
2 способ. Использование МЗФ.
Оценим модуль левой части при помощи введения вспомогательной переменной:

равно 0; формулы сокращенного умножения)

ОДЗ: cosx≠0








Графически или аналитически



Ответ. {-π/3+πk|k=2n,k,nєZ}

одинаковых углов.
!!! Иногда в правило подстановки включают ограничения на переменную

t: |t| ≤ √2 !!!
Пример. sinx+cosx-sinxcosx=0 ;
sinx+cosx=t, тогда t2 = 1+2sinxcosx;
Тогда t- =0|·2; -2t-1+t2=0; t2 -2t -1 = 0;

sinx+cosx= 1-√2 –
- введение вспомогательной переменной.


Ответ.

π/2], синус которого равен р, если рє[-1;1]



Основные формулы.
sin(arcsin

a)=a , …
аrcsin(sin a)=a, если aє [-π/2; π/2], …
arcsin(-a)= - arcsin a, arctg(-a)=-arctg a, arccos(-a)=π - arccos a, arcctg(-a)=π - arcctg a,
arcsin a+ arccos a= π/2, arctg a+ arcctg a = π/2

по определению.

Пример.

arcsin 2x = 2π/3

Решение. (стандартное)
ООФ: |2x|≤1, |x|≤½
По определению 2x = sin 2π/3; 2x = √3/2; x= √3/4 ≈0,4 є ООФ
Ответ. √3/4

Решение. (правильное)
МЗФ: лев.ч.: arcsin 2x є[-π/2; π/2], 2π/3 є(π/2; 3π/2).
Ответ. Корней нет.

тригонометрических функций от обеих частей уравнения
Основные этапы решения.
Найти ОДЗ, как

пересечение ООФ левой и правой частей уравнения.
Найти объединение МЗФ левой и правой частей уравнения с учётом ОДЗ.
Выбрать тригонометрическую функцию, монотонную на объединении МЗФ левой и правой частей уравнения.
Взять выбранную функцию от обеих частей уравнения.
P.S. Если нет функции, монотонной на объединении МЗФ левой и правой частей уравнения, то
сделать проверку;
можно попробовать преобразовать уравнение при помощи переноса слагаемых из одной части в другую или деления на число и т.д.

Пример. arcsin x2 – arccos

x = 0

ОДЗ:
МЗ : 0 ≤ arcsin x2 ≤ π/2
- π ≤ - arccos x ≤ 0
- π ≤ arcsin x2 – arccos x≤ π/2 - нет таких промежутков монотонности → преобразуем уравнение
arcsin x2 = arccos x
1. ОДЗ:
2. МЗ2 : (0 ≤ arcsin x2 ≤ π/2 ; 0 ≤ arccos x ≤ π ) → МЗ2 = [0; π] → у=cos α – монотонна на [0; π].
3. соs(arcsin x2 )=cos( arccos x), ] arcsin x2 =t, sin t = x2, t є [0; π/2]


с учётом огр. ответ.

½
МЗ: -π/6≤ arcsin x ≤ π/6

- π/2 ≤ arcsin 2x ≤ π/2
- 2π/3 ≤ arcsin 2x + arcsin x≤ 2π/3 - нет таких промежутков монотонности →
Преобразование уравнения →
I способ решения: arcsin2x = π/3 – arcsinx
Л.ч.: - π/2 ≤ arcsin 2x ≤ π/2; Пр.ч.: -π/6 ≤ -arcsin x ≤ π/6; |+π/3
π/6≤ π/3 - arcsin x ≤ π/2;
МЗ:[- π/2; π/2]- промежуток монотонности функции у = sin x →




ответ

Более строгая оценка области изменения аргумента

→ II способ решения
Д.у.: аркфункции отличаются только растяжением вдоль оси ОХ → либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны.



→ их сумма может быть положительна только при положительном аргументе : х≥0; 0≤ х ≤ ½; → 0 ≤ arcsin x ≤ π/6;
0≤ arcsin 2x ≤ π/2
0 ≤ arcsin 2x +arcsin x ≤ 2π/3;
МЗ: [0; π]- промежуток монотонности функции у = cos x →

- π/2

- π/2

π/2

π/2

-½

½

-1

1

у=arcsinx

у=arcsin2x

уравнения с последующей проверкой.
Проверка.

формул аркфункций.
Пример. аrccosx - arcsinx

=π/6 ОДЗ: |x|≤1
(π/2- arcsinx) - arcsinx = π/6 ; 2 arcsinx = π/2- π/6 ;
arcsinx = π/6; x=1/2.
IV Уравнения, решаемые методом оценки
Пример. 3arccos(7x-1)+2arctg(x+8)=2arcsin(-1)
= 2· (-π/2)=- π
0 ≤ 3arccos(7x-1) ≤ 3π
2· (-π/2) < 2arctg(x+8) < 2· π/2
-π< 3arccos(7x-1)+2arctg(x+8)<4π
!!! Строгие неравенства
Ответ. Корней нет.

– π = 0;
3 arcsinx = - πx

+ π ;
] x = ½: 3 arcsin½ + π·½ – π =
= 3π/6+ π/2– π = 0

3π/2

-3π/2

1

-1

y=π-πx

y= 3 arcsinx

π

½

из выходов – метод интервалов.
Пример. аrcsin2x + arcsinx < π/3;

ОДЗ: -½ ≤ х ≤ ½
аrcsin 2x + arcsin x - π/3 <0;
аrcsin 2x + arcsin x - π/3 =0; ;
] x = 0 → arcsin 0 + arcsin 0 - π/3 = 0 + 0 - π/3 < 0.
Ответ.[-½; )

½

-½

-

+