Учитель математики Потапова Е.А. Степенная функция её свойства и

Общеобразовательное Учреждение «Средняя Общеобразовательная Школа №236 г.Знаменск»

д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции,
т.

е. функции у = хР, где р - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень хР. Перейдем к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р.

функция
у = х2n, где n - натуральное число, обладает

следующими свойствами:
Область определения - все действительные числа,
т. е. множество R ;
множество значений - неотрицательные числа, т. е. y≥ 0;
функция у=х2n четная, так как (-х)2n = х2n;
функция является убывающей на промежутке x≤O и возрастающей на промежутке x ≥O.
График функции у = хР имеет такой же вид, как, например, график функции у = х4 (рис. 1).

случае степенная функция y = х2n-1,
где 2n-1 - натуральное

число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
Функция y = х2n-1 нечетная, так как
(-х)2n-1=- х2n-1;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y = х2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y = х3 (рис. 2).

число.
В этом случае степенная функция y=х -2n обладает следующими

свойствами:
- область определения - множество R, кроме х= 0;
- множество значений - положительные числа у>0;
- Функция y=х -2n - четная, так как (-х) -2n = х-2n;
функция является возрастающей на промежутке х<0 и убывающей на промежутке х>0.
График функции y=х-2nимеет такой же вид, как, например, график функции y=х-2 (рис.3).

- натуральное число.
В этом случае степенная функция y=х-(2n-1) обладает

следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме х=0;
- множество значений - множество R, кроме у=0;
- функция нечетная, так как (-х)-(2n-1) = -х-(2n-1);
- функция является убывающей на промежутках х<0 и х>0.
 
График функции y=х-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=х-3 (рис. 4).

Рис.4

вида 2m/2n+1 или 2m+1/2n)
В этом случае функция у=хР обладает следующими

свойствами:
область определения х≥0;
множество значений у≥0;
функция является возрастающей на промежутке [0; ∞).
График функции у=хР, где р - положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график
Функции (при 0<р< 1) или как, например,
график функции (при p>1) (рис.5 a, б),если числитель или знаменатель является четным числом.

вида 2m+1/2n+1)
В этом случае функция у=хР обладает следующими свойствами:
область

определения хϵ R
множество значений уϵ R
функция является возрастающей на промежутке R .
График функции у=хР, где р - положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например,

график функции (при 0<р< 1).

вида 2m+1/2n+1)
В этом случае функция у=х-р обладает следующими свойствами:
область

определения хϵ R ,кроме х=0,
множество значений уϵ R, кроме х=0.
функция убывает на каждом промежутке области определения.
График функции у=х-р, где -р – отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например,

график функции (при 0<р< 1) на рисунке 6 б.

вида или 2m/2n+1)
В этом случае функция у=х-р обладает следующими свойствами:

область определения х>0,
множество значений у>0.
функция убывает на промежутке(0; ∞).
График функции у=х-р, где -р – отрицательное нецелое число вида 2m+1/2n или 2m/2n+1 , имеет такой же вид, как, например,график функции

(при -1<-р< 0) на рисунке 6 б.