УПРУГИЕ СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД

важны в качестве:
а) параметров состояния вещества в физике Земли;
б) определяющих

параметров в механике горных пород;
в) определяющих свойств в сейсмологии и сейсморазведке.
Упругие свойства определяют скорости распространения сейсмических волн. В теории и методике сейсмологии и сейсморазведки используются три системы упругих параметров.
1. Модуль сжатия K и модуль сдвига   в теоретической сейсмологии, физике Земли;
2. Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона   в экспериментальной сейсморазведке;
3. Коэффициенты Ламе  и   в теории сейсмических волн;   модуль сдвига; определением  и  считается закон Гука для напряжений ij и деформаций объема  и сдвига ij: ij =  + 2ij,
если  = ij / ij , где ij  касательные напряжения.

параметров  связь между напряжениями в среде под действием массовых

и поверхностных сил, с деформациями  смещениями элементов среды.
Среда считается сплошной: в малом объеме среды не учитывается кристаллическая структура и другая дискретность.
Деформации – изменения длин и углов линий между точками тела. Движения тела как целого не происходит.
Напряжение σ – сила F, действующая на единицу площади S сечения тела. В теле можно выделить много таких сечений. Ориентировка любой из них задается вектором нормали n.
Действие части тела с одной стороны от сечения на другую часть заменим силой F с нормальной Fn и касательной Ft составляющими.
Когда площадь сечения S мала (dS), силу на площадке можно считать постоянной (dF).

определены нормальное σii и касательные σij напряжения. Первый индекс обозначает

площадку (нормаль к ней), второй –направление компоненты. Полное описание напряженного состояния в точке в общем случае – набор 9 компонент тензора напряжений.
Для тел, не движущихся как целое, тензор симметричный – 6 компонент. Равны по модулю нормальные компоненты на противоположных гранях и касательные на смежных гранях

наименьшие – это главные оси напряжений; промежуточные напряжения также являются

главными. Главные напряжения: σ1, σ2, σ3.
Обычный выбор: σ1 > σ2 > σ3. Касательные напряжения нулевые; тензор диагональный.
В общем случае ориентировка главных осей напряжений в теле неизвестна.
Если одна грань свободна от напряжений, это плоское напряженное состояние.
Значения напряжений зависят от ориентировки координатных осей.
Но есть характеристики напряженного состояния, которые инвариантны относительно выбора систем координат.

σср.
Квадратичный J2, его
комбинация с J1 дает
максимальное
касательное

напряжение τm.

Используя σср, запишем общий тензор – сумму шарового и девиаторного тензоров:

смещений по осям координат u, v, w.
Их производные по

координатам обозначаются:
Тензор деформаций составляется из этих безразмерных величин.
Тензор не симметричный, так как смещения в теле включают вращательные движения как целого.
Для сравнения с симметричным тензором напряжений в тензоре деформаций выделяют главную симметричную часть (тензор Коши) и кососимметричный тензор вращения, в большинстве случаев небольшой.

первом γij = 0, а вместо εi стоят εср,
в

последнем вместо εi стоят εi – εср.
Инварианты малых деформаций
не вполне аналогичны инвариантам
напряжений.
Первый инвариант тензора
деформаций – дилатация
θ = εx+ εy + εz.
Квадратичный инвариант – по
главным осям
ε(2) = ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1

Смысл главных деформаций ε1 > ε2 > ε3; как и в случае напряжений, инвариантом является максимальный сдвиг
γm = ε1 – ε3. Он важен для связи деформаций с напряжениями.

простые линейные связи. Это область теории упругости, в основе которой

лежит закон Гука.
У него разные формулировки в зависимости условий опыта. При одноосном растяжении или сжатии осевое нормальное напряжение и осевая деформация связаны соотношением
σ0 = E·ε0. Коэффициент E называется модулем Юнга.
Для изотропного тела связи компонент нормальных напряжений σi и деформаций εi выражаются через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν.

где Cijkl – тензор модулей упругости (4-го ранга).
Cijkl –

81 компонент. 36 независимы из-за симметрии тензора. Равны между собой компоненты с переменой пар индексов:
Cijkl = Cklij. Это уменьшает число независимых компонент до 21.
Удобно обозначать пары индексов ij и kl парами цифр ab
(a, b = 1,2,..6). Тензор модулей упругости выражается матрицей из 21 элемента Сab.

Упругие модули и симметрия

Уменьшение числа компонент (N) связано с симметрией тела (таблица).
В кубической сингонии C11, C12, C44.
Изотропная среда С12 = λ, С44 = μ; третий коэффициент выражается через эти два:
С11 = С12 + 2С44 = λ + 2μ.
В слоистой среде с осевой симметрией – 5 коэффициентов: λn и μn – по оси симметрии, λt и μt – по напластованию и μ* – перекрестный: связь напряжения σit и деформации γin.

волн мало отличается от 3. Отсюда (нижняя строка) имеем соотношения

между значениями модулей сжатия и сдвига и коэффициент Пуассона: K/  5/3 ;    ;   0,25. В жидкости  = 0, 5.

Существуют продольная волна (P) и две поперечные (SV и SH).

Эти волны имеют разные скорости по разным направлениям, неравны между собой скорости SV и SH по любому направлению.
Часто анизотропия вызвана тонкой слоистостью осадочных и метаморфических пород. Тогда скорости vРn продольных волн нормально к поверхностям слоев отличаются от скоростей vРt волн вдоль слоев. Анизотропию слоистой среды определяют величиной коэффициента анизотропии KР = vРtt/vРn (случай продольных волн).
Слоистая среда, в которой выделено лишь направление по нормали к слоям – трансверсально-изотропная среда. Описание упругих волн в этом случае требует пять независимых параметров упругости.

минералов и пород соотношение скоростей вдоль и поперек плоскостей напластования

различно, KP > 1 или KР < 1.
Микроклин: vP (100) 4,7 км/с, (001) 5,6 км/с и (010) 7,7 км/с. Полевые шпаты не образуют массивов с общей ориентировкой. Похожая анизотропия у слюд, кальцита, графита, талька и др., также не создающих массивов.
Осадочные породы: алевролит (vPt= 2,7 км/с, vPn= 1,7 км/с, KP = 1,5), известняк (соответственно, 5,8 и 5,3 км/с, KP = 1,1), антрацит (2,0 и 2,5 км/с и Kp = 0,8). У слоистых пород обычно KP > 1, т. е. скорости вдоль напластования больше.
Пример анизотропии – преобладающая ориентация кристаллов оливина в верхней мантии по направлению конвективных движений, горизонтальных в верхних частях ячеек. vP максимальны вдоль направления течений и минимальны в перпендикулярном направлении. Различие скоростей – до 10 %.

поглощение). Для характеристики поглощения используются величины:
а) коэффициент поглощения  

относительное изменение амплитуды на расстоянии x0 A(x) = A0R exp[(x  x0)], где R  коэффициент геометрического расхождения фронта;
б) логарифмический декремент поглощения   относительное изменения амплитуды колебаний на периоде :  =  = v / f;
f  частота колебаний, v  скорость волны;
в) добротность среды Q  обратная величина относительных потерь энергии на периоде: Q = 2E / E. Добротность связана с декрементом поглощения соотношением: Q   / .
Высокоскоростные породы имеют малое поглощение. Уменьшение пористости ведет к уменьшению поглощения.
Физические механизмы поглощения энергии сейсмических волн связываются с внутренним трением, упругим последействием.

уравновешены, в ней распространяются упругие волны. Уравнение движения вне источника

имеет вид:

Любое векторное поле B можно представить суммой полей: потенциального (rot B = 0) и соленоидального (div B = 0). Применительно к напряженно-дефомированному состоянию потенциальное поле – шаровой тензор, соленоидальное – девиаторный. Разделив поле смещений, получим уравнения:

передачей импульса от частицы к частице квантами упругих колебаний 

фононами. Закон сохранения импульса mv = const означает, что скорость упругих волн обратно пропорциональна массе атома.
Для элементов с большими атомными радиусами Ra скорости упругих волн vp обратно пропорциональны Ra, а элементы с большими Ra имеют обратную зависимость vp от атомной массы Ma. Скорости vp элементов каждого периода таблицы Менделеева растут в начале периода и понижаются к концу.
Скорости в минералах изменяются в широком диапазоне:
vp от 2 до 18 км/с, vs от 1,1 до 10 км/с. Малые значения скоростей имеют самородные металлы, большие  силикаты, многие окислах (в их число не входят окислы железа), максимальные в алмазе (vp = 18,3 км/с).

кристаллическая структура  плотность упаковки атомов в решетке, дефекты структуры;

б) средняя атомная масса Ma.
Два типа соотношения скоростей упругих волн и плотности (справедливо для vP и vS):
1) vp ~   означает преобладание фактора кристаллической структуры – у большинства минералов;
2) vp ~ 1/  указывает на доминирующую роль средней атомной массы – руды железа, хрома, марганца и др.
Минералы с высокой симметрией обычно имеют скорости выше, анизотропию меньше, чем минералы с низкой симметрией.

в относительно нешироких пределах, vP от 5,0 до 8,5 км/с,

vS от 3,0 до 5,2 км/с.
Мало варьируют значения коэффициента Пуассона  (0,240,30, за исключением кварца, 0,08 и пирита, 0,16).
Коэффициент анизотропии Kp наибольший у моноклинных слюд и ортоклаза, наименьший – у кубических минералов.
Значения скоростей и плотности довольно тесно коррелируют между собой. Уравнения регрессии:
для скоростей: vs = 0,63 vP – 0,34;
для скорости vP и плотности: σ = 0,31 vP + 0,89
(за исключением рудных минералов с большой атомной массой, имеющих низкие скорости, несмотря на плотную упаковку решеток (галенит, молибденит, сфалерит, пирит).

ряду форстерит – фаялит тоже действует это правило. Mg2SiO4 с

Ma = 20,1 vP = 8,2 км/с, vS = 4,8 км/c; у Fe2SiO4 с Ma = 29,1 vP = 7,2 км/с, vS = 4,2 км/c.
Полиморфные превращения минералов изменяют плотность упаковки решеток и в том же направлении меняют скорости сейсмических волн. Упругие модули изменяются сильнее, чем скорости и плотности, так как они пропорциональны v2.
Фазовые переходы в оливине с верхнемантийным отношением [Fe]/[Mg + Fe] = 0,13 дают такие изменения vp:
 -оливин  8,81 км/с при Р = 13 ГПа и T = 1700 K,
 шпинелевая фаза в эти условиях  9,48 км/с, а при P = 24 ГПа и T = 2000 К  vP =10,28 км/с,
 перовскитовая фаза: P = 24 ГПа, T = 2000 К vP = 10,73 км/с.

Изоморфизм, полиморфизм

узких диапазонах P−T-условий и концентрации элементов в магме. Это определяет

типы структуры соединений.
В полиминеральных агрегатах скорости распространения упругих волн оказываются осредненными из значений скоростей волн в отдельных минералах. Это осреднение по большим ансамблям зерен, оно не такое как, например, для плотности. Средняя плотность: ср = iVi / V; здесь суммируются массы. При постоянном объеме или в больших ансамблях: cр = (i) / n.
Для скоростей суммируется время пробега волны:
vср = si / (si/ vi); это лишь приближенно отвечает прямому осреднению скоростей в больших ансамблях зерен: vср  (vi) / n. В качестве веса при осреднении входит относительное содержание минералов в породе Ci: vср = viCi, а Ci = 1.

можно вывести заключение о главной закономерности в распределении скоростей сейсмических

волн: отрицательной корреляции с содержанием SiO2, увеличении их значений от кислых пород к ультрабазитам.
В следующей далее таблице приведены: плотность , модуль Юнга E, коэффициент Пуассона , модуль сдвига , скорости продольных и поперечных волн в условиях земной поверхности vp и vs, а также скорости продольных волн при давлении 0.5 ГПа, vp0,5.
Для каждого типа пород приведены результаты измерений по 25 образцам. Точность оценок vp для всех типов пород составляет 13 %

σ = 1,26 + 0, 27

vp ; vs = 0, 45 + 0,51 vp ;

давлении 0,10,15 ГПа, на глубине 35 км, ниже которой уменьшение

скоростей упругих волн с давлением практически не зависит от состава магматических пород.

Несмотря на малую пористость магматических пород, изменения скоростей продольных и поперечных волн на малых глубинах зависят от давления гораздо больше, чем в глубоких частях коры.

довольно велика даже при небольших ее вариациях. Водонасыщенные породы обнаруживают

более устойчивые закономерности распределения скоростей упругих волн, в том числе их корреляцию с плотностью, чем газонасыщенные.

чем трещиноватость, особенно в газонасыщенных породах.
Для

кристаллических пород с пористостью до 35 % справедливы оценки, основанные на среднем времени пробега волны: 1/vp = Kп / vpж + (1  Kп) / vpм,
где vp, vpж и vpм  скорости в породе, жидкой фазе и скелете.
Главным определяющим фактором для скоростей распространения сейсмических волн в магматических и метаморфических породах является минеральный состав, средняя плотность упаковки атомов в решетке. Этим объясняется наличие тесной корреляционной связи скоростей упругих волн с плотностью, которая управляется тем же главным фактором.
Зависимость между скоростью продольных волн и плотностью магматических и метаморфических пород в разных по составу группах практически одинакова.

– перидотит;
4 – гарцбургит;
5, 6, 7 – пироксениты;
8

– серпентинит;
С – % серпентина.
Зависимость vp от С:
vp = 8,1 – 0,03 C;
Зависимость плотность –
скорость:
vp = 3,44 σ – 3,63 .

определяющими распределение скоростей упругих волн в осадочных породах. Они важны

прежде всего для терригенных пород, но и карбонатные подвержены их влиянию.
Важна геометрия порового пространства: сферические поры меньше влияют на скорости упругих волн, чем трещины. Системы трещин приводят к уменьшению скоростей волн и их зависимости от направления фронта волны относительно трещин (анизотропии).
Через фактор пористости проявляется зависимость упругих свойств осадочных пород от условий образования, глубины залегания и положения в тектонической структуре.
Терригенные породы континентальных и прибрежных зон, как правило, сложены из плохо окатанных частиц разных размеров; скорости упругих волн в них выше, чем в однородных мелкозернистых отложениях глубоководных и шельфовых зон.

больше пористость и меньше скорости при нормальных давлениях, тем выше

степень увеличения скорости с давлением и глубиной залегания осадочных пород.
На глубинах более 3 км, при давлении более 0,1 ГПа увеличение скоростей сейсмических волн по причине сокращения пористости становится сравнимым с эффектом сжатия кристаллических решеток матрицы осадочных пород.
В случаях аномально высоких пластовых давлений (флюидов в поровом пространстве), которые могут на глубинах 35 км вдвое и более превышать литостатическую нагрузку, скорости упругих волн понижаются на ~10 % по сравнению с теми же породами в нормальных условиях.

Зависимость скорости от глубины

флюидов в поровом пространстве. В газонасыщенных породах при нормальном давлении

скорости на 3050 % меньше, чем в водонасыщенных породах. С глубиной, по мере закрытия пор, различие уменьшается и на 45 км оно не превышает 510 %.
Различие скоростей в коллекторах, содержащих нефть или воду, невелико: около поверхности 510 %, на глубине 5 км (0,15 ГПа) оно не превышает 2 %.
Отдельные слои могут иметь разные значения скоростей в разных частях складок. Скорости уменьшаются в сводовых частях антиклинальных складок вследствие растяжения, с которым связывается повышение пористости и трещиноватости; в синклиналях они обычно максимальны, а в зонах резких перегибов из-за систем сдвиговых трещин есть анизотропия.

Роль флюидов

литологических разностей. Они являются сейсмическими границами: различаются по скоростям сейсмических

волн, характеристикам поглощения или анизотропии.
Параметры границ: глубины залегания, углы наклона или рельеф, степень дифференциации, устойчивость в разрезе, резкость и гладкость. Первые два параметра имеют геологический смысл и определяются по результатам интерпретации сейсмических данных, а другие существенны как элементы сейсмических моделей разреза при выборе сейсмических методов, обосновании систем наблюдений и методов интерпретации волнового поля.
Степень дифференциации разреза определяется изменчивостью свойств от одного слоя к другому; от нее зависит интенсивность отраженных и преломленных волн на сейсмической границе и, следовательно, возможность определения свойств границы по сейсмическим данным.

отражения A на границах. A  отношение амплитуд отраженной и

падающей волн. Для нормального падения плоских волн:
A = |1v1  2v2| / (1v1 + 2v2),
где v  акустическая жесткость; формула справедлива для продольных и поперечных волн.
Применительно к преломленным волнам дифференциация разреза оценивается по коэффициентам прохождения В  отношению амплитуд преломленной и нормально падающей на границу плоской волны:
В = 21v1 / (1v1 + 2v2).
Скачки скоростей на границах не велики, v < v1, и B  v1 / v2.
Дифференциация сильная, если коэффициент отражения A превышает 0,3, а коэффициент прохождения B меньше 0,5; слабая дифференциация  при A < 0,1 и B > 0,8.

разрез может иметь различную степень дифференциации; например, поверхность грунтовых вод

– сильная граница для P-волн, но слабая для S-волн: при водонасыщении скорость поперечных волн изменяются меньше, чем скорость продольных волн.
Резкие границы – на которых из-за смены литологии, несогласия скорость или v меняется скачком.
Есть границы с градиентным изменением скорости; часто такова поверхность фундамента с корой выветривания.
Гладкость границы – способность отражать волны устойчиво по направлению или, напротив, рассеивать их. Граница гладкая, если радиус кривизны больше длины волны. Иначе это шероховатая граница, как, например, нижняя граница зоны малых скоростей, эрозионные границы.
Устойчивость границы – степень изменчивости скорости и других характеристик границы по латерали.

разного возраста при сходстве структурных условий обнаруживают закономерное увеличение скоростей

упругих волн от возраста.
Увеличение скоростей продольных волн dvp/dtvp составляет в среднем 10–9 год–1, примерно на 0,3 км/с за 100 млн лет.
Непосредственным физическим фактором является, конечно, не сам возраст, а эпигенетические изменения пород, уменьшение пористости при длительной нагрузке вышележащих толщ, возрастные изменения кристаллической структуры, динамометаморфизм.

водонасыщения порового пространства.
Скорости для однотипных пород в условиях ВЧР –

в широком диапазон значений.
Пористость более сильный фактор, чем литология.
В зоны вечной мерзлоты скорости упругих волн в ВЧР много выше, чем в талых. Увеличение пропорционально пористости: почва vP  с 1,5 до 3,5 км/с, песчаники  с 4 до 5 км/с, известняки  с 4,5 до 5,2 км/с.