Валентинов В.А. Эконометрика. Лекция 15. Линеаризация нелинейных моделей

(модуль 4)
15.1. Перечень методов линеаризации
15.2. Метод замены переменной
15.3. Метод логарифмирования
15.4.

Метод обращения и разложения в ряд Тейлора

(модуль 4)
15.1. Перечень методов линеаризации
Если нелинейную модель

можно преобразовать в новую модель линейного вида относительно параметров и переменных, коэффициенты которой соединены аддитивно, то по отношению к этим коэффициентам новой модели можно использовать МНК.
Процесс преобразования нелинейной модели в линейную называется линеаризацией.
Можно выделить следующие методы линеаризации:
1- метод замены переменной;
2- метод логарифмирования;
3- метод обращения;
4- метод разложение функции в ряд Тейлора.
После преобразования нелинейной модели в линейную коэффициенты линейной функции можно рассчитать с помощью функции ЛИНЕЙН.
Если не удалось преобразовать нелинейную модель в линейную, то расчеты коэффициентов любой функции можно выполнить с помощью программы Ехсе1 «Поиск решения», в которой необходимо найти такие коэффициенты функции, при которых сумма квадратов остатков (целевая функция) будет минимальной.

(модуль 4)
15.2. Метод замены переменной
Метод замены переменной осуществляется в том

случае, если в исходной модели параметры находятся в первой степени и соединены аддитивно, а переменные находятся в степени, отличной от единицы.
Пример 1.
Дана У=а0+а1Х+а2Х2 +е – параболическая модель.
Если произвести замену: Х=Z1, Х2 =Z2, то получится новая модель:
У=а0+а1*Z1 + а2*Z2 + е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.
Пример 2.
У = а0+а1/Х + е – гиперболическая модель.
Если произвести замену: 1/Х=Z, то получится новая модель:
У=а0+а1Z + е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.

(модуль 4)
15.3. Метод логарифмирования.
Метод логарифмирования осуществляется в том случае, если

в исходной модели параметры находятся в степени, отличной от единицы или находятся в степени переменной, остатки модели соединены мультипликативно.
Пример 1.
Дана У= а0*Xa1е – экспоненциальная модель 1, кривая Энгеля.
lnУ = lna0+a1*lnX+ lne
Если произвести замену: lnУ=Z1, lna0 = Z2, lnX = Z3 , lne = v, то получится новая модель:
Z1= Z2+а1Z3 + v, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.
Если в выражении lna0 = Z2 значение Z2 найдено, то а0 определяется потенцированием, по формуле a0=еZ2 = ехр(Z2)

(модуль 4)
15.4. Метод обращения и разложения в ряд Тейлора
Метод обращения

используется в том случае, если исходная модель представлена в виде дроби, где в числителе стоит единица. (Ф 15.6)
Пример 1.
У= 1/(а0+а1*Х+е) – гипербола 2.
Если произвести замену: 1/У=Z1 , то получится новая модель:
Z1= а0+а1*Х+е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН.
Метод разложение функции в ряд Тейлора.
Если модель является внутренне нелинейной, т.е. ее нельзя преобразовать в линейную функцию, то эту функцию раскладывают в ряд Тейлора .
Пример 1.
У= а0*Xa1 +е – экспоненциальная модель, в которой остатки включены аддитивно, при этом модель становится внутренне нелинейной, так как нельзя привести к линейному виду, по тому, что нельзя найти логарифм суммы (а0*Xa1 +е).
Метод разложения функции в ряд Тейлора не получил широкого распространения в эконометрических исследованиях.