Валентинов В.А. Эконометрика. Лекция 9. Оценка тесноты связи (модуль 3) 9.1

3)
9.1. Корреляционный анализ
9.2. Предпосылки корреляционного анализа
9.3. Свойства коэффициента корреляции
9.4. Проверка

значимости коэффициента корреляции

3)
9.1. Корреляционный анализ
Теснота связи между двумя переменными

определяется с помощью корреляционного анализа.
Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. При одномерном корреляционном анализе степень связи между двумя случайными величинами x и y характеризуется специальной мерой – коэффициентом корреляции: ρ(x,y) = M[(x - Mx)*(y - My)]/(Dx*Dy)1/2

Оценка ρ(x,y) вычисляется по выборке совместных наблюдений величин Х и У по формуле:


 
которая читается следующим образом: коэффициент корреляции между переменными Х и У равен частному от деления числителя, равного сумме произведений отклонений Х и У от своих средних значений, на знаменатель, равный корню квадратному от произведения суммы квадратов отклонений Х и У от своих средних значений.

3)
9.2. Предпосылки корреляционного анализа
Для проведения корреляционного анализа должны

выполняться две предпосылки относительно переменных:
1 – переменные Х и У являются случайными величинами;
2 – переменные Х и У имеют нормальный закон распределения и являются однородными.

3)
9.3. Свойства коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Значения коэффициента корреляции r(x,y) лежат в интервале [-1,+1].
2. Отрицательное значение r(x,y) означает, что при увеличении x наблюдается тенденция уменьшения y, положительное - при увеличении x наблюдается увеличение y. Если между x и y существует функциональная линейная зависимость, то коэффициент корреляции принимает значения либо +1, либо -1.
3. Если коэффициент корреляции равен 0, то это означает, что между Х и У нет линейной зависимости, но может быть нелинейная зависимость.
Корреляционным полем называется график совместного распределения Х и У.

3)
9.4. Проверка значимости коэффициента корреляции
После вычисления оценки коэффициента корреляции необходимо

проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю истинного значения параметра ρ(x,y).
Проверка статистической гипотезы о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции необходима для того, чтобы определить наличие или отсутствие линейной тенденции взаимного изменения двух случайных величин.
Для проверки гипотезы используется непосредственно оценка r(х,у).
Значение оценки сравнивается с критическим значением коэффициента корреляции rкр при заданном уровне значимости α.
Расчет критического значения коэффициента корреляции rкр на уровне значимости  = 0,05 и числе степеней свободы ( n - 2 ) можно произвести с использованием следующих соотношений.
Известно, что проверка значимости выборочного коэффициента корреляции основана на вычислении критерия Стьюдента

3)
После несложных преобразований можно получить критическое значение коэффициента

корреляции rкр.



где t ( = 0,05, n - 2 ) - табличное значение критерия Стьюдента,
n - объем выборки.
Если значение оценки превышает критическое, то нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергается с вероятностью 1- α и утверждается, что между переменными имеется существенная линейная зависимость.
Если значение оценки не превышает критическое, то нулевая гипотеза принимается, но не указывается, с какой вероятностью и утверждается, что линейная зависимость между Х и У статистически не доказана.
Простота расчета и анализа коэффициента корреляции позволили широко использовать его в научных исследованиях, однако наблюдаются случаи расчета ложных коэффициентов корреляции и получении ложных выводов, если не соблюдаются предпосылки корреляционного анализа.