Векторный анализ

в трехмерном пространстве определена функция u(x,y,z), то говорят, что задано

скалярное поле u(x,y,z).
Замечание. Другими словами говоря, задание скалярного поля означает, что каждой точке M(x,y,z) поставлено в соответствие число, которое является значением функции u в точке M.

то в каждой точке пространства определена функция

,

где: - расстояние от точки до начала координат;  - потенциал,
0 – диэлектрическая постоянная вакуума.
Задание функции  задает скалярное поле потенциала.

поле

Замечание. В этом случае каждой точке пространства M(x,y,z) ставится в

соответствие вектор в точке M(x,y,z).
Для скалярных и векторных полей вводится понятие поверхностей уровня.
Определение. (поверхностей уровня). Пусть задано скалярное поле u(x,y,z). Поверхностью уровня данного скалярного поля, называется поверхность, задаваемая уравнением
u(x,y,z) = сonst.

то имеем скалярное поле потенциала

,

Поверхностью уровня является поверхность:


где: с = const.

- сфера

Такие поверхности называются эквипотенциальными.

линией заданного векторного поля называется линия, в каждой точке которой

вектор касательной совпадает по направлению с вектором .
Замечание. Уравнение векторных линий можно находить по формуле:

в любую точку поля.
Векторные и скалярные поля связаны между

собой.

u, где u – дифференцируемая функция. Возьмем в трехмерном пространстве

вектор l, расположенный в этом скалярном поле. Пусть
начало вектора l характеризует
точку М0. Возьмем на векторе l
соседнюю точку М . Точка М как
и М0 находится в скалярном поле u . Поэтому имеет смысл приращение скалярного поля u в точке М0, выраженное формулой:

скалярного поля

к длине вектора,

т.е. к , то этот предел называется производной скалярного поля u по направлению l и обозначается:

по направлению).
Если скалярное поле u(x,y,z) дифференцируемо в каждой точке некоторой

области V, то производная по направлению в каждой точке V существует и она выражается формулой:

, которые составляет вектор l с координатными осями.
Док-во: т.к. скалярное

поле u дифференцируется в области V, значит, в любой окрестности точки М0 V существует приращение скалярного поля, находимого по формуле:

которые стремятся к 0, когда

- это проекции вектора ,
совпадающего по направлению с вектором на
координатные оси.

- частные производные.

Разделим левую и правую части на длину вектора

После чего получаем:

на y и x на z, то в пределе получим

cos и cos.

,

имеем:




Так как предел правой части (2) существует и выражается правой частью формулы (3), то и предел левой части формулы (3) существует. Он равен производной скалярного поля по направлению. Значит, производная скалярного поля u по направлению l выражается формулой:

выражает скорость возрастания или убывания скалярного поля по направлению

вектора , если:

- поле возрастает

- поле убывает.

Вычисление скалярного поля производится по формуле (4).
Пример: на практике.

Свойства градиента
Определение. (градиента). Градиентом дифференцируемого скалярного поля называется вектор

.
Замечание. На практике встречаются равносильные обозначения градиента:
gradu  u,
где:  - оператор «Набла».

и векторных полей.
Пусть задано скалярное поле u(x,y,z), дифференцируемое в некотором

V.
-произвольный вектор V. По определению:


Но эта запись означает, что скалярному полю u c помощью grad поставлено в соответствие векторное поле grad. Что и говорит о том, что скалярное и векторное поле связаны между собой.

произведение градиента поля u и вектора , получим:

- произвольный единичный вектор V.
В правой части производная по направлению:

что:

= проекцияlgradu =


Df. (инвариантное определение градиента, не зависящего от системы координат).
Градиентом скалярного поля u называется вектор, обозначенный gradu, проекция которого

поля по направлению этого вектора .
Свойства градиента:
Градиент дифференцируемого

скалярного поля u(x,y,z) перпендикулярен к поверхности уровня этого скалярного поля (совпадает с нормалью) и направлен в сторону возрастания скалярного поля.
2. grad(c1u1 + c2u2) = c1gradu1 + c2gradu2,
c1, c2 = const;
u1, u2 – скалярные поля.
3. grad(u1u2) = u2gradu1 + u1gradu2.

Fugradu.

§ 4. Применение градиента для вычисления нормали к поверхности.
Для поля

u(x,y,z) введем понятие градиента:

поверхность уровня скалярного поля u(x,y,z).
Так как градиент скалярного поля направлен

по нормали к поверхности уровня, то единичный вектор нормали к поверхности можно найти по формуле:




Пример. На практике