ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА, ЇЇ РОЗПОДІЛ

для котрих настання однієї з них ніяк не впливає на

імовірність настання іншої.
Незалежні випадкові величини це такі величини, які є результатом незалежних випадкових подій.
Випадкові величини – дискретні, безперервні
Розподіл – це відповідність, або залежність між значеннями хi випадкової величини (X) й ймовірностями їхньої реалізації (абсолютними частотами) pi. Для дискретної величини X={xi}, i=1…N: pi=f(xi), i=1…N, причому


Функція розподілу — це функція F(х), яка задає імовірність того, що випадкова величина X в дослідженні прийме значення менше х: F(х) = p(Х<х), F(х)≤1
Щільність розподілу – це похідна від функції розподілу:
f(x)=F´(x)

величини Х
Функція розподілу дискретної випадкової величини Х

шляхом

Теоретичні закони розподілу: Гауса, Ст‘юдента, Фішера, хі-квадрат Пірсона, біноміальний, Пуасона.

Методи

завдання законів розподілу

Табличний – варіаційні ряди;
Графічний - гістограма;
Аналітичний - формула.

Мода - значення випадкової величини (спостереження), яке найбільш часто зустрічається.

Медіана

- значення випадкової величини (спостереження), зліва і справа від якого однакова кількість значень цієї величини.

2) Характеристики розсіяння

Дисперсія

Середнє квадратичне відхилення

Квантіль : квартиль (Q25%, Q75%),
деціль, центіль

щільності розподілу припадає на середнє арифметичне, і спостерігається симетричність відхилень

від середнього

2. Малі відхилення від середнього більш ймовірні, великі – менш ймовірні, практичні межи відхилень від середнього ± 3σ (ймовірність 99,7%)

Для представлення значень випадкової величини у стандартному вигляді, тобто для приведення будь яких перемінних до одного діапазону використовується нормоване відхилення:

одиниць, що розрізняються індивідуально, які поєднуються для вивчення деякої ознаки.

Варіанти, або дані - окремі одиниці вимірювання, отримані на окремому об’єкті, що входять до складу статистичної сукупності.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ СТАТИСТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Статистичний комплекс - статистична сукупність, що створена з декількох ознакак і складається з декількох однорідних груп.

Шкали вимірів: шкала класифікації (найменувань); шкала порядку; шкала інтервалів; шкала відносин.

Розміри статистичного комплексу (таблиці) – дорівнюють n·(k+l), n в 3…5 разів більше (k+l).

розсіяння:

σ, σ2

Непараметричні – не підпоряд-ковуються нормальному закону


Характеристики положення:
Mo, Me


Характеристики

розсіяння:

Q25%, Q75%

популяції однорідних об’єктів дослідження.
Вибірка – частина генеральної сукупності.



Умови репрезентативності вибірки

1.Типовість

об’єктів – використання рандомізованого підходу.
2. Достатність обсягу.

Ціль вибіркового дослідження полягає у виявленні деяких закономірностей на вибірці і подальшій екстраполяції отриманих результатів на всю генеральну сукупність (популяцію) із певною ймовірністю, яка називається довірчою.

Етапи вибіркового дослідження

Формування репрезентативного вибіркового матеріалу (збір емпіричних даних), складання таблиць та баз даних.
Проведення статистичного аналізу даних відповідно до мети та завдань дослідження

(вибірки) об'єктів дослідження, тобто побудова статистичних рядів розподілу ознак, визначення

емпіричного розподілу ознаки, оцінювання відповідності емпіричних розподілів теоретичним законам, статистична оцінка параметрів розподілу;


Статистичний аналіз даних (результатів досліджень): дослідження впливовості факторів на ознаку, оцінка значущості різниці між однорідними ознаками; дослідження взаємозв'язків між ознаками, складається з перевірки статистичних гіпотез .

значення параметрів, або про відсутність розходжень між групами, або про

відповідність розподілу до нормального (деякого іншого теоретичного) закону;

Альтернативна гіпотеза Н1 — гіпотеза про існування розходжень між групами, або про параметри, що відрізняються від заданих значень, чи про невідповідність розподілу до нормального (деякого іншого теоретичного) закону.

У результаті перевірки статистичних гіпотез можуть виникати наступні похибки:
Н0 - вірна (розходжень між групами нема), але помилково відхилена відповідно до статистичного критерію (помилково доведена статистична значущість розходження) — похибка першого роду (α-похибка);
Н0 - не вірна (розходження між групами є), але помилково не відхилена відповідно до статистичного критерію (не доведена статистична значущість розходження) — похибка другого роду (β-похибка).

0-гіпотезу, коли насправді вона вірна, називається рівнем статистичної значущості (α).

Цей рівень обирається дослідником або як максимально прийнятний для нього, або як загально прийнятий.
Звичайно прийнято три рівня значущості:
α={0,05; 0,01; 0,001},
які відповідають значенням довірчої ймовірності:
Р= {0,95; 0,99; 0,999}.
У ході застосування статистичного методу обчислюються значення тестової статистики – критеріальні числа, наприклад:
Ст′юдента – t;
χ2 – Пірсона - χ2;
Фішера - Fi

критеріального числа із критичним значенням відповідного критерію, яке визначається за

допомогою функції розподілу для заданих рівня статистичної значущості (як правило рα=0,05) і кількості ступенів свободи (df).

2. Порівняння отриманого значення рα із прийнятим рівнем значущості:
якщо розраховане в статистичному тесті значення рα виявляється більше прийнятого (на розсуд дослідника) рівня значущості (звичайно 0,05), то нульову гіпотезу Н0 не відхиляють, а розходження груп називаються статистично незначущі.

- якщо ж значення рα виявляється менше рівня значущості, то нульову гіпотезу Н0 відхиляють, при цьому варто прийняти альтернативну гіпотезу Н1.

для якого-небудь параметра (наприклад, середнього значення ознаки, коефіцієнту кореляції) по

вибірці і із визначеною довірчою ймовірністю (наприклад, 95%), що включає істинне значення цього параметру у всій генеральній сукупності.

Якщо генеральне середнє оцінюється за значенням середнього вибірки, розподіл якої підпорядковується нормальному закону, то 95%-ий довірчій інтервал популяційного (генерального) середнього відповідно буде:

на кількісну ознаку
Статистична задача - Порівняння двох вибірок за

кількісною ознакою

Використовуються два підходи :
1) шляхом перевірки статистичних гіпотез;
2) з використанням ДІ середніх порівнюваних груп або ДІ різниці середніх

Вибір придатного методу порівняння, визначається декількома факторами:
— видом розподілу ознак;
— пов’язаністю чи непов’язаністю вибірок (груп)
— числом груп, що зіставляються

ознаки в двох порівнюваних групах (наприклад, контрольна і експериментальна) не

відрізняються, впливовість фактору не можна вважати статистично значущою

,n2, σ22, σ2

,n1, σ12, σ1

Послідовність перевірки статистичної значущості

Розрахунок критеріального числа Ст’юдента за формулою:

2. Визначення ймовірності 0-гипотези за розподілом Ст’юдента рα(t, df), де df – кількість ступенів свободи розраховується в залежності дисперсій порівнюваних вибірок.

різниці двох середніх
Довірчій інтервал різниці двох генеральних показників D=|M1-M2| :

Манна-Уїтні (U-критерій Вілкоксона-Манна-Уїтні)
Найбільш міцний непараметричний критерій.
Вимоги: 1)дисперсії вибірок повинні

бути рівними; 2) не повинно бути багато співпадаючих значень.

Критерій серій Вальда-Вольфовіца (S)
Використовують для великих вибірок, може бути багато співпадаючих значень

Двовибірковий критерій Колмогорова—Смірнова (d )

Критерій можна використовувати і для невеликих вибірок

Критерій знаків Z

Т-критерій Вілкоксона для пов’язаних вибірок

Більш міцний, але він використовується тільки для змінних, що вимірюються в шкалі відносин.

Мало міцний метод, рекомендований для первинної обробки даних

номінальної ознаки, яке зустрічається найбільш часто у даній вибірці;
Абсолютні

та відносні частоти.

Відносна частота

- у частках одиниці

- у відсотках:

- у проміле:

100%;і=1,…,k

.

1000‰, і=1,…,k.

фактора на некількісну ознаку
Статистична задача - Порівняння двох вибірок

за номінальною ознакою

Таблиця спряженості

де Yi,– можливі значення номінальної ознаки, i=1,…,k, k – кількість значень ознаки, Xj, - значення фактору, j=1,...,l, l - кількість значень фактору, mіj - абсолютні частоти, ni, mj - маргінальні частоти (суми абсолютних частот) відповідно по рядках та стовпчиках, i=1,…,k, j=1,...,l, N – загальна кількість досліджень.

розподіли частот в групах не розрізняються.
ПОРІВНЯННЯ ГРУП ЗА НОМІНАЛЬНОЮ

ОЗНАКОЮ

Перевірка проводиться за критерієм χ2 Пірсона:

де - очікувана абсолютна частота, тобто ті значення абсолютних частот, яки були б в випадку відсутності впливу фактору на ознаку.

Умови коректності критерію χ2: ≥ 5

За умови р (χ2, df=(k-1)(l-1))≤0,05, Н0 спростовується, тобто фактор змінює ознаку

При порівнянні двох чи більше груп за порядковою (ранговою ознакою) звертаються також до критерію χ2 або до методів непараметричної статистики

(абсолютна частота):
у частках (відносна частота):
у відсотках (розповсюдженість)
Розподіл

бінарної ознаки

у проміле:

У частках:
У відсотках:
У проміле:
Похибка вибіркового середнього
При m=0, або m=n,

треба використовувати поправку Ван дер Вардена:

1/2n – поправка на безперервність, яка компенсує помилку, що виникає

при заміні біноміального розподілу нормальним

При p>0,75, або p<0,25 (особливо для n<30) використовують методику  - Фішера

частка задана просто числом (наприклад, 24%), то перевіряється, чи попадає

вона у ДІ95% вибіркової частки, чи ні

2. Перевірка 0-гіпотези

Якщо z≥1,96, або pα(z)≤0,05, то нуль-гіпотеза відхиляється, тобто вибіркова частка статистично значимо відрізняється від генеральної, і відповідно вибірка не належить до генеральної сукупності

в клінічній практиці зводяться до наступних задач :
- Порівняння двох

часток в межах однієї групи.
- Порівняння часток у двох групах.
- Порівняння абсолютних частот бінарної ознаки у двох непов’язаних групах.
- Порівняння абсолютних частот бінарної ознаки у двох пов’язаних групах.
- Порівняння абсолютних частот бінарної ознаки у трьох і більше непов’язаних групах.

Вирішити ці задачі можна трьома способами:
1. Порівняти ДІ95% відносних частот. Треба розрахувати ДІ95% для кожної з порівнюваних відносних частот. Якщо інтервали не перетинаються, то частоти з рівнем статистичної значущості меншим за 0,05 розрізняються.
2. Побудувати ДІ95% різниці порівнюваних відносних частот. Якщо він не містить 0, то частоти з рівнем статистичної значущості меншим за 0,05 розрізняються.
3. Перевірка 0-гіпотези про рівність відносних частот.

dp≥25%
При n1 =n2 =n
df =n-1,
2. При n1

≠n2

df = n1 +n2 -2,

dp<25% - методика φ– Фішера

Розрахунок md і df залежить від рівності обсягів вибірок

ЗА БІНАРНОЮ ОЗНАКОЮ
Послідовність перевірки статистичної значущості впливу фактору на

ознаку

1. Побудова таблиці спряженості (чотирипільної таблиці).
2. Побудова таблиці очікуваних частот, вибір критерію статистичної значущості.
3.Розрахунок значення критерію.
4.Визначення рівня статистичної значущості

Чотирипільна таблиця спряженості

Критерій 2 Пірсона

Для N≥100

Для N<100 вноситься поправка Йєтса

В випадку рα(χ2, df=1)≤0,05 нуль-гіпотеза, за якою групи (розподіли ознаки в групах) не відрізняються, спростовується, і групи можна вважати різними