Вписанная и описанная окружности

в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

окружности.
 

 

углов многоугольника.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r= S/p,

где S – площадь, а p – полупериметр многоугольника.

пересечения биссектрис треугольника.

А



О

В С

серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

R= = =


R =

является диаметром)
Радиус вписанной окружности находится по формуле:

, где а и b – катеты, с – гипотенуза.


R = d/2

О

r =

Найдите периметр этого треугольника.

Решение.
Из формулы S=pr, где p - полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:

Ответ: 24

.

6.




Решение.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты.

Поэтому он равен 2.
Ответ: 2.

этого треугольника.



Решение.

значит,
Ответ: 18.

радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача №2 К окружности, вписанной

в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Задача №3 Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 + √2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача №4 Сторона правильного треугольника равна√3 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Задача №5 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

этот треугольник.


Решение.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к

полупериметру:

Ответ: 0,5.

.

отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.


Отрезки

касательных, проведенных к окружности из точек K,H,O,F,N,M соответственно равны друг другу. Поэтому

Следовательно,

Ответ: 24.

Решение.

окружности, вписанной в этот треугольник.



Решение.
Ответ: 1.

равна√3 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 1.

треугольника.



Решение.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, гипотенуза

является диаметром и
R = 12/2=6.

Ответ: 6.

радиус окружности, описанной около этого треугольника.


Решение.
По теореме синусов имеем:




Ответ:

1.

Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение.

Для нахождения площади треугольника, воспользуемся

формулой Герона
S =



Ответ: 25

Найдите среднюю линию трапеции.
Решение.
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда

и только тогда, когда АВ + СД = ВС + АД






Ответ: 4.

как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что

его периметр равен 32.

Решение.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ+СД = АД+ВС.




Пусть меньшая сторона равна х, тогда х +3х=Р/2; 4х=16; х=4. Тогда большая сторона равна Р/2 – 4=16-4=12
Ответ: 12

равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.


Решение.
Трапеция – равнобедренная, т. к.

вокруг неё описана окружность.



Ответ: 6.

основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной

окружности этой трапеции.

Решение.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника ADC. Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
AD=DC=AB-2AH=AB-2ADcos 60°=12-AD, откуда AD=6


Ответ: 6.

Найдите угол Д , если около данного четырехугольника можно описать

окружность. Ответ дайте в градусах.



Решение.
Пусть угол А равен х°. Учитывая, что сумма противоположных углов во вписанном четырёхугольнике равна 180°, получим: х+3х=180; 4х=180; х=45. Угол В равен 2х=2·45=90. Тогда угол Д равен 180-90=90.
Ответ: 90.




Ответ: 90º

. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.




Решение.
Так

как во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то больший угол равен 180° - 58°= 122°
Ответ: 122.

АОВ. Он равносторонний, т.к. АО=ОВ=R и угол АОВ равен 60°,

тогда D=2R=2АО= 2АВ=2·12=24
 
Ответ: 24.

радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.


Решение.
Угол правильного шестиугольника равен 120°

, тогда угол ОАH в прямоугольном треугольнике OAH равен 60°. Следовательно,



Ответ: 1.

Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА

и ВС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Решение.
Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
1)Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,
Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC— общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL=kAB, BK=kBC, KL=kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

Подставляя известные значения сторон, находим
k = = KL=kAC=45/23

AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит,

треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL=AC= 9. Заметим, что BK=BC>AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.


Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL>BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL=AB
Ответ:45/23; 9.

в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок

этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника равно 5/12.

Решение.
Обозначим треугольник АВС, отношение катетов равен 5/12, АС=5х-катет, ВС=12х-катет, АВ=13х— гипотенуза. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности.
OD=EC= = = 2x. Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N. Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём MN=24, AM=26, AN=10. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: ВС+MN=BM+CN; 12х+24=(13х-26)+(5х-10), откуда находим: х=10.
r=2x=20

точке М, а ВС в точке N. Прямоугольный треугольник NBM

подобен треугольнику ABC. В нём MN=24, BM=57,6, BN=62,4. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
MN+AC=CN+AM; 24+5x=(12x-62,4)+(13x-57,6), откуда находим: х=7,2.
r=2x=14,4






Ответ: 20 или 14,4.

учеб. для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2010.
2. ЕГЭ-2013. типовые экзаменационные варианты:

10вариантов / под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012
3.mathege.ru
4.reshuege.ru