Вступ в т еорію ймовірностей

вам пропонують знайти приз за однією з трьох закритих дверей.

Ви вибрали одні двері, після чого ведучий відкриває одні з двох інших, де немає призу і пропонує вам подумати ще раз.

Чи варто змінювати свою думку?

Чи варто враховувати нову інформацію?


Онлайн версія гри: http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/LetsMakeaDeal.html

певної події, починають з опису процесу, що нас цікавить, далі,

розглядаємо всеможливі результати (елементарні події), виділяємо ті, що сприяють появі цієї події, і оцінюємо ймовірність настання цієї події.

Найпростіший підхід – класичний підхід, коли



де mx – кількість подій, що сприяють появі події х, n – кількість всеможливих рівноможливих подій.

і використовують інші підходи, зокрема емпіричний підхід (коли можна провести

низку експериментів, тоді ймовірність настання події х рівна відносній частоті появи події х в цій низці повторюваних експериментів).

Суб’єктивна оцінка ймовірності визначається на основі досвіду та суджень людини чи групи людей (як приклад – Метод Делфі).

Теоретична оцінка визначається на основі певних формул.

це подія, що стається якщо не стається А.
Р(А)+Р(не А)=1

Перетин подій

А і Б ( ) – це подія, що стається коли одночасно настають події А і Б.

Об’єднання (сума) подій А і Б ( )– це подія, що стається коли настає або А, або Б, або обидві одночасно.

Події А і Б – несумісні, якщо

Правило додавання ймовірностей:


Приклад. В рулетці ймовірність випадання парного числа = 18/37, більшого за 18 = 18/37, парного більшого за 18 = 9/37. Отже, ймовірність випадання або парного або більшого 18 =
18/37+18/37-9/37=27/37.

настанні додії Б – це ймовірність події А, якщо Б

вже настала.



Задача. Ви отримуєте приз якщо виграєте два тенісні матчі підряд. Можливими є дві схеми гри: любитель-чемпіон-любитель, або чемпіон-любитель-чемпіон. Чемпіон грає краще від любителя.
Яку схему ви виберете?

Правило незалежних подій. Якщо події А і Б – незалежні, то


Задача. Бажаючи диверсифікувати ваші заощадження ви купили акції та облігації певної компанії. Чи зменшили ви ризик втрати коштів?

з невизначеностями вирішуються за допомогою дерев рішень та дерев ймовірностей.

Приклад.

Ви виришуєте запустити новий товар але не впевнені в його успіх, тому було вирішено зробити дешевший пілотний проект, що дасть змогу вивчити ринок і збільшити ймовірність успіху товару, якщо ви всетаки вирішите його запускати. Ви оцінили такі ймовірності:
ймовірність успіху випуску товару = 0.6;
ймовірність успіху в пілотному проекті = 0.7;
ймовірність того, що успішними будуть або випуск товару або пілотний проект або обидвоє разом = 0.75.

Чи є зміст в пілотному проекті?

буде таким:
Успіх пілотного проекту
0.7
0.3
так
ні
0.55
0.15
так
ні
0.05
0.25
так
ні
Тоді, наприклад, ймовірність успішного виходу товару при

провальному пілотному проекті = 0.05/0.3=0.167,

В той же час ймовірність успішного виходу товару при успішному пілотному проекті = 0.55/0.7=0.786.

в своїх суб’єктивних судженнях, особливо коли мова йде про оцінки

ймовірностей малоймовірних подій.

з певними ймовірностями.

Приклади: обмінний курс, ціна нафти, банкрутство.

Випадкова величина

може бути дискретною та неперервною.

Приклад. Обсяг продажу автомобілів автосалоном в наступному кварталі – дискретна величина, що приймає всеможливі значення між 0 (малоймовірно) і, наприклад, 100 (також малоймовірно). Більш ймовірним буде продаж, наприклад 55 автомобілів.

55

100

0

знайти найбільш очікуване значення (математичне сподівання) треба:



Яка різниця між

середнім значенням та математичним сподіванням?

Яка різниця між стандартним відхиленням даних та стандартним відхиленням випадкової

величини?

Приклад. Ви розглядаєте можливість інвестиції 12 тис. в три проекти А, В та С. Через рік проект А гарантовано дає 14 тис., проект В дає або 10 тис. або 20 тис. з ймовірністю 0.5, проект С дає 0 з ймов. 0.98 і 1 млн з ймов. 0.02. Куди вам інвестувати?

Очікувана дохідність проектів, Е(А)=14000, Е(В)=10000*0.5+20000*0.5=15000, Е(С)=0*0.98+1000000*0.02=20000.

Невже С – найкращий проект?

константу

Додавання випадкових величин

Множення випадкових величин


Х+Х = 2Х ?

(тобто або подія настає з ймовірністю р, або не настає

з ймовірністю (1-р)) і повторюється n разів, то випадкова величина Х, що рівна кількості разів настання подій має біноміальний розподіл.

Важливим є незалежність послідовності повторів.

Мат. сподівання біноміального розподілу = p*n

Стандартне відхилення біноміального розподілу =

Ймовірність того, що при n спробах буде рівно k успіхів:

В Excel: =БИНОМРАСП чи =BINOMDIST, формально


де

технології може бути бракованим з ймовірністю 0.05. Через місяць ви

повинні поставити замовнику 20 одиниць обладнання, причому брак може бути виявленим лише після встановлення. Це важливий для вас клієнт і ви не хочете його підвести, тому вирішуєте відправити замовнику більшу кількість обладнання, щоб при необхідності замінити брак. Скільки штук обладнання оптимально відправити замовнику аби гарантувати 99% якість обладнання?

0.05, тобто воно справно працює з ймовірністю 0.95
Якщо ви вирішете

відправити лише 20 штук, то ймовірність того, що всі вони справно працюватимуть:



=BINOMDIST(20;20;0.95;0)

якісної роботи 20 шт обладнання буде рівна:

Р(Х>=20)=P(X=20)+P(X=21)=
=BINOMDIST(20;21;0.95;0)+BINOMDIST(21;21;0.95;0)=
=0.37641+0.340562=0.716972, мало....

Для 22

шт. відповідний показник буде = 0.905177

Для 23 шт. відповідний показник буде = 0.974185

Для 24 шт. відповідний показник буде = 0.994025

величину з великою кількістю факторів впливу, де жоден фактор не

має вирішального значення.
Нормальний розподіл повністю характеризується через математичне сподівання та стандартне відхилення:

з математичним сподіванням 0 і стандартним відхиленням 1.

Ми будь-який нормальний

розподіл Х з параметрами
можемо перевести в стандартний нормальний розподіл Z таким перетворенням




Часто необхідно працювати з стандартним нормальним розподілом.

тому ймовірність попадання випадкової величини в певний інтервал рівна площі

під графіком розподілу над цим інтервалом.
Для обчислення значень площі використовуватимемо Excel формулу =NORMDIST чи =НОРМРАСП
Обернена функція, що за відомої площі (ймовірності) шукає відповідні значення випадкової величини:
=NORMINV чи =НОРМОБР

Приклад. Обсяг продаж в цьому кварталі склав 21 300 000 грн і перевищив прогноз, що був на рівні 18 000 000. На наступний квартал обсяг продаж прогнозується на рівні 20 000 000 з стандартним відхиленням 3 000 000. Яка ймовірність, що наступний квартал буде дійсно невдалим і продажі будуть менші ніж 15 000 000.

продаж, мат. сподівання = 20 000 000. Станд. відхилення =

3 000 000.
Треба знайти Р(Х<15 000 000)=
=NORMDIST(15000000;20000000;3000000;1)=0.0478.

Якщо б ми хтіли знати ймовірність значення обсягів продаж у розмірі від 16 000 000 до 23 000 000, то робимо таке

P(16 000 000
Якщо б ми хтіли знати найгірше значення обсягів продажу з ймовірністю помилки 3% (=0.03), тоді робимо таке

=NORMINV(0.03;20000000;3000000)=14 357 631.