Вычислительная обработка результатов геодезических результатов

зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей

ее точность.
Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.
На практике не следует производить измерения с наибольшей достижимой точностью, так как повышение точности измерений ведет к удорожанию измерительных работ, поэтому точность измерений должна соответствовать поставленной задаче.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

получения наиболее точного значения измеряемой величины и характеристик ее точности

занимается теория ошибок измерений. Излагаемые в ней методы решения задач позволяют рассчитать необходимую точность предстоящих измерений и на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и технологию измерений, а после производства измерений получить наилучшие их результаты и оценить их точность. Математической основой теории погрешностей измерений являются теория вероятностей и математическая статистика.
В зависимости от условий измерения могут быть равноточными и неравноточными.
Измерения называются равноточными, если в процессе измерений сохраняются неизменными следующие факторы:
объект измерения;
субъект измерения (наблюдатель);
мерный прибор;
метод измерения;
внешняя среда.
Если изменяется хотя бы одно из 5 условий, то производимые наблюдения будут неравноточными.

действие элементарных ошибок образует ошибку результата измерений.
Различают тир основных вида

ошибок:
грубые;
систематические;
случайные.
Грубые ошибки резко отклоняют результаты измерений от истинного значения измеряемой величины. Это в основном промахи и просчеты исполнителя. Грубые погрешности обнаруживают путем повторения измерения и сравнения их результатов. Если расхождения между результатами превосходят заданный допуск, то эти измерения выбраковывают и производят заново.
Систематические ошибки входят в каждый результат измерений по определенному закону, однообразно повторяются в многократных измерениях. Систематические погрешности удается исключить или свести их до минимума тщательной проверкой измерительных приборов, применением соответствующей методики измерений , а также введением поправок в результаты измерений.

каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Закономерности случайных ошибок проявляются

в массе, то есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Случайные ошибки подчинены определенным вероятностным закономерностям, изучение которых дает возможность получить наиболее надежный результат и оценить его точность. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.
В дальнейшем будем считать, что результаты измерений свободны от влияния грубых и систематических ошибок (они исключены из результатов измерений или ослаблены до минимума) и содержат только случайные ошибки.
Случайной (истинной) ошибкой Δ называют разность между измеренным значением величины l и её истинным значением Х:
Δ = l - Х

по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной

ошибкой. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.
2. Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.
3. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.
4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать так:

где [Δ] - знак суммы, т.е.

n — число измерений.

измерений одной и той же величины результата наиболее близкого к

её истинному значению. Таким результатом является среднее арифметическое из измеренных значений данной величины.
Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то есть,

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:

Величина                                 
называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (2) в виде

(1)

(2)

(3)

(4)

можно написать:


что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая

арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины.
А при ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины. Это позволяет при любом числе измерений, если n>1, принимать арифметическую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше n.

Средняя квадратическая , предельная и относительная ошибки

Средняя квадратическая ошибка m введена в теорию ошибок для характеристики точности отдельного измерения

(5)

когда известно истинное значение измеряемой величины Х. Такие случаи в

практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, — арифметическую середину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

(2)

где δi= li – Xo
— отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими ошибками, причем [δ] = 0.
Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины определяется по формуле

(3)

где т — средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (1) или (2).

величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел,

называемый предельной ошибкой. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.
В качестве предельной ошибки Δпр для данного вида измерений принимается утроенная средняя квадратическая ошибка
Δпр=3m.
При более ответственных измерениях для повышения требований точности измерений принимают
Δпр=2m.
Ошибки измерений величины которых превосходят Δпр считают грубыми.

величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях, например,

длину линий, превышения между точкам. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения:

(4)

а среднего результата из двух измерений:

(5)

где d — разность двукратно измеренных величин; n — число разностей (двойных измерений).

только по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, но

и по величине относительной погрешности.
Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины.
Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух - трех значащих цифр с нулями.
Δотн = тl /l =1/(l / тl ),
где l - значение измеряемой величины.
Относительная предельная ошибка:
Δотн. пр. = Δпр / l, где Δпр = 2(3)m

Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при тl = 2 см равна тl /l = 1/5500, а относительная предельная погрешность при Δпр = 3m = 6 см, Δпр /l= 1/1800.

значение длины линии и оценить точность выполненных измерений. Результаты измерений

и вычислений записывают по форме, приведенной в таблице

Δ пр =12см

съемочное обоснование в виде закрепленных на местности пунктов, координаты которых

определены из геодезических линейно-угловых построений (сети триангуляции, теодолитные, тахеометрические, мензульные ходы, геодезические засечки). Высоты точек съемочных сетей определяются тригонометрическим или геометрическим нивелированием.
Съемочное обоснование развивается от пунктов опорной геодезической сети более высокого класса путем сгущения геодезической основы до плотности, обеспечивающей выполнение топографической съемки.
Самый распространенный вид съемочного планового обоснования – теодолитные ходы, опирающиеся на один или два исходных пункта.
Теодолитные ходы привязываются к пунктам опорной геодезической сети. Это выполняется для того, чтобы вершины теодолитных ходов были определены в существующей системе координат. Привязка выполняется различными способами. В результате ее выполнения на стороны и вершины теодолитного хода должны быть переданы дирекционный угол и координаты x, y.
Теодолитный ход не привязанный к пунктам опорной геодезической сети, носит название свободного, привязанный лишь в начальной точке – висячим.

являются координаты XA, YA пункта A и дирекционный угол αBA

линии BA, который называется начальным исходным дирекционным углом; этот угол может задаваться неявно через координаты пункта B, путем решения обратной геодезической задачи.

Измеряемые величины - это горизонтальные углы β1, β2,..., βn-1, βn и расстояния S1, S2,…, Sn-1, Sn.
Дирекционные углы сторон хода вычисляют последовательно по формулам передачи дирекционного угла через угол поворота.
Координаты пунктов хода получают из решения прямой геодезичеcкой задачи сначала от пункта A к пункту 2, затем от пункта 2 к пункту 3 и так далее до конца хода.

угол направления АВ (αАВ), горизонтальная проекция направления АВ (dАВ ).
Найти:

координаты точки В (хВ уВ).
Решение:
Δх=± dАВ·cos rАВ= dАВ·cos αАВ;

Δу=± dАВ·sinrАВ= dАВ·sin αАВ.

Контроль вычисления приращений координат:


Координаты искомой точки В определяются по формулам:
 
хВ=хА+Δх; уВ=уА+Δу.
 

YВ).
Найти:
дирекционный угол направления АВ (αАВ),
горизонтальную проекцию направления АВ

(dАВ ).
Решение:
ΔХ = ХВ - ХА; ΔY = YВ - YА.

По найденным значениям приращений координат ΔХ и ΔY в прямоугольном треугольнике, вычисляют табличный угол (румб):

отсюда

.

Зная дирекционный угол направления и приращения координат, определяют горизонтальную проекцию направления:

; ; .

углов и два координатных условия.
Вычислим последовательно дирекционные углы всех

сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:
или .

Математическая запись условия дирекционных углов в разомкнутом теодолитном ходе для левых углов поворота:

Для правых углов поворота оно запишется так:


где αн , αк – дирекционные углы начальной и конечной выходных сторон, между которыми прокладывается ход, n – число углов хода, включая примычные.
Сумма углов, подсчитанная по формулам (1) и (2), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую fβ:

(1)

(2)

(3)

ходов mβ = 30", поэтому:

Присутствие ошибок в результатах измерений является

причиной возникновения задачи уравнивания. Целью уравнивания является устранение невязок и повышение точности всех измеренных величин.
Обозначим поправку в измеренный угол Vβ и запишем условие:


откуда следует, что сумма угловых поправок равна угловой невязке с противоположным знаком:


При условии, что поправки в измеренные углы одинаковы, решение уравнения (7) получается в виде:


Исправленные значения углов вычисляются по формуле:


По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем правильности обработки угловых измерений.  

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

по каждой стороне хода ΔXi и ΔYi :




где r –

румб соответствующего дирекционного угла.
Координаты пунктов хода получим по формулам :



Для конечной точки хода:

или

Аналогичная формула для суммы приращений ΔY имеет вид:



Получились еще два условия (14) и (15), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам.    

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

хода:
и затем относительную невязку хода:

где Р =ΣSi – периметр

теодолитного хода, м.
Вычисленная относительная невязка сравнивается с допустимой. В зависимости от условий местности допустимая невязка изменяется в пределах от 1/1000 до 1/3000.
Если условие выполняется, то координатная невязка распределяют на соответствующие приращения пропорционально длинам сторон с обратным знаком. Поправки в приращения координат:

последовательно вычисляют координаты всех вершин теодолитного хода:


Вычисление координат пунктов в

замкнутом ходе выполняется в том же порядке, что и в разомкнутом ходе; отличие состоит в вычислении теоретических сумм углов и приращений координат. Если в замкнутом ходе измерялись внутренние углы, то:

и

- приборная точность,

n – число углов.

Длина хода:

относительная невязка хода:


что удовлетворяет условиям точности.