Задачи на смеси и сплавы

сплавы, концентрацию

Ефимова Галина Павловна

учитель математики Лицея №3
города Тулы

задачи на проценты:

Найти р% от числа А:

перевести р% в

десятичную дробь,т.е.р%=0,01р

умножить А на эту дробь

задачи на проценты:

Найти число А по его

р %:
перевести р % в десятичную дробь,т.е.р%=0,01р

разделить А на эту дробь

% составляет число А от числа В:

А разделить на

В и умножить на 100%

Примеры
Что нужно сделать, чтобы найти:
5% от 70;

120% от 55; 0,23% от 46
Как найти число, если 22% от него составляют 56; 154% от него составляют 71; 0,03% от него составляют 2
Как вычислить, сколько % составляет 5 от 27; 76 от 23; 123 от 5

десятичную дробь, получаем 1+0,01р и умножаем А на эту дробь
Уменьшить

число А на р%:
100%-р% переводим в десятичную дробь, получаем 1-0,01р и умножаем А на эту дробь

Задачи
Что нужно сделать, чтобы :
увеличить число

77 на 10%; на 125%; на 0,05%
уменьшить число 567 на 35%; на 2%; на 0, 12%?
Денежный вклад в размере 1500 р за год возрастает на 8%.Какова будет сумма вклада через 5 лет?
1500×1,08⁵
Число А сперва увеличить , а затем уменьшить на р%:
А(1+0,01р)(1-0,01р)=А(1-0,0001р²)

цена товара?
(А×1,2×0,8=0,96А; цена снизилась на 4%)
По Эрдниеву: А увеличили

на р%. На сколько % надо уменьшить получившееся значение, чтобы значение А стало прежним?
А(1+0,01р)(1-0,01х)=А из чего следует х=р/(1+0,01р)
И наоборот, А сперва уменьшили на р% . На сколько % надо увеличить получившееся число, чтобы А осталось прежним?
А(1-0,01р)(1+0,01х)=А ; х=р/(1-0,01р)

новую цену, чтобы получить первоначальную?
х=12/(1+0,12)=10

5/7%
Производительность труда на заводе снизилась на 20%.На сколько % надо ее повысить, чтобы достигнуть первоначальной?
х=20/(1-0,2)= 25%
Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько % надо повысить производительность труда, чтобы зарплата осталась прежней? 8А=7(1+0,01р)А; р=14 2/7%

пришлось рабочий день увеличить с 7 до 8 часов?

7А=8(1-0,01р)А; р=12,5%

Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько надо повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 12%?
7(1+0,01р)А=8(1,12А); р=28%

воды необходимо добавить в этот сосуд, чтобы получить5% раствор кислоты?

5×0,2=1л
1/(5+х)=0,05;
х=15л
Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2:3, а в другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3:7.Какие массы первого и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1,5 кг, в котором эти металлы находились бы в отношении 1:2?

следовательно 0,5 кг первого и 1 кг второго металлов.

Если взять за х кг вес первого сплава, который нужно взять для третьего сплава, то в нем будет 0,4х кг первого металла, а в оставшихся ( 1,5-х)кг второго сплав будет 0,3(1,5-х) кг первого металла. Т.к. первого металла всего 0,5 кг, то получаем уравнение:
0,4х+0,3(1,5-х)=0,5
из чего находим : х=0,5кг -первого сплава, следовательно, 1кг-второго сплава.

и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток

сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.


х=10; р=0,69
Ответ:10кг; 69%.

кислоты. Другой сосуд содержит 5л такой же р% кислоты. Сколько

литров кислоты из второго сосуда надо долить в первый, чтобы получить кислоту максимальной концентрации? Найти эту концентрацию.
х л-объем кислоты, долитой из второго сосуда в первый; х є[0;2]
а) если р є[0;40), то во втором сосуде находится более слабая кислота, чем в первом. х=0; максимальная концентрация 0,4.
б) если р=40, то концентрация в первом и втором сосудах одинаковая и можно добавлять любое х количество кислоты из второго сосуда, лишь бы оно удовлетворяло условию х є[0;2]

чем в первом.
х=2л

0,4×4=1,6 л
0,01р×2=0,02р л
( 1,6+0,02р)/6 -максимально возможная концентрация
Ответ: при рє[0;40) х=0; макс.конц. 0,4
при р=40 х є[0;2]; макс.конц. 0,4
при рє(40;100], х=2;
макс.конц. ( 1,6+0,02р)/6

массой 2 кг и содержит 30% меди, второй массой 3

кг и содержит 40% меди. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым куском, чтобы получить новый сплав , содержащий р% меди?
Решение:
0,3×2=0,6 кг меди в первом сплаве
0,4х кг меди в х кг второго сплава
2+х масса нового сплава
0,6+0,4х кг масса меди в новом сплаве
(0,6+0,4х)/(2+х)=0,01р откуда находим значение х
х=2(р-30)/(40-р).
Ограничения на р находим из условия хє[0;3]

неравенств, окончательно имеем: рє[30;36].
Т.о., при рє[0;30)U(36;100] х=ø;

при рє[30;36] х= 2(р-30)/(40-р) кг

экзамену по математике (А.Н.Руркин, Москва «ВАКО» 2006)
Методическое пособие по математике

для поступающих в Финансовую академию
(под ред. В.А. Бабайцева и А.А.Рылова, Москва 2003)