Задание №8 Метод коэффициентов ( по материалам открытого банка задач ЕГЭ по

)
Учитель математики: Купрацевич Г. Г.
ЧОУ СОШ «Левушка» г. Магнитогорск

площади поверхности при увеличении (уменьшении) линейных размеров объёмного тела.

изменения с ним происходят по одной из трёх осей: ОХ,

ОУ и OZ.

коэффициенты растяжения для осей OX,
 OY и OZ  соответственно.
Тогда объем нового многогранника Vновый

рассчитывается по формуле: Vновый = Vстарый · a · b · c
(Если по какой-то оси производится сжатие
 многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.)

в 5 раз, а высота увеличена в 3 раза».
Значит:

По ОХ – сжатие в 2 раза ⇒ a = 2,
по ОУ – растяжение в 5 раз ⇒ b = 5,
по OZ – растяжение в 3 раза ⇒ с = 3.
Следовательно:
Vновый = Vстарый : 2 · 5 · 3= 7,5 Vстарый

увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 4 раза?
Значит:

По ОХ – растяжение в 8 раз ⇒ а = 8,
по ОУ – растяжение в 8 раз ⇒ b = 8,
по OZ – сжатие в 4 раза ⇒ с = 4.
Следовательно:
Vновый = Vстарый · 8 · 8 : 4= 16 Vстарый
Ответ: 16

двумерная. Поэтому изменение радиуса у фигур вращения (кроме шара!) влечет

за собой растяжение сразу «в обе стороны» - по осям ОХ и ОУ.
У шара, при изменении радиуса, сжатие или растяжение происходит сразу по трём осям координат.

второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания —

в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Найдем отношение объемов

12

Ответ: 9.

У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус

основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
2 способ

Ответ: 9.

По ОХ –сжатие в 2 раза ⇒ а = 2,
по ОУ – сжатие в 2 раза ⇒ b = 2,
по OZ – растяжение в 3 раза ⇒ c = 3.
Vновый = Vстарый : 2 : 2 · 3 = 12 : 2 : 2·3 = 9

призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой

высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?
Ответ выразите в сантиметрах.

16 см

V

h

V

a

a

4a

4a

16

Найдем отношение объемов

Объем жидкости не изменился, т.е. V1=V2

Ответ: 1.

призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой

высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?
Ответ выразите в сантиметрах. 2 способ

16 см

V

h

V

a

a

4a

4a

Ответ: 1.

Vновый = Vстарый

hновый= 1

Сторона основания в 4 раза больше
Значит:
По ОХ – растяжение в 4 раза ⇒ а=4,
по ОУ – растяжение в 4 раза ⇒ b = 4,
по OZ – изменений нет.

полтора раза шире. Во сколько раз объём первой кружки меньше

объёма второй.  
                                                    
                                                        
                                                        

Решение.

По ОХ – растяжение в 1,5 раз ⇒ а = 1,5,
По ОУ – растяжение в 1,5 раз ⇒ b = 1,5 ,
По OZ – сжатие в 2 раза ⇒ с = 2.

  

Vновый = Vстарый · 1,5 ·1,5 : 2 = 1,125 Vстарый

Ответ: 1,125

увеличить в пятнадцать раз?

Ответ: 15.
Решение.
Vновый = Vстарый · 15
В

данной задаче растяжение в 15 раз только по оси OZ .

стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже

второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой коробки больше объёма второй?

Правильная призма, значит, в основании квадрат.
По ОХ –сжатие в 3 раза ⇒ а = 3,
По ОУ – сжатие в 3 раза ⇒ b = 3,
По OZ – растяжение в 4,5 раза ⇒ с= 4,5.

Решение.

Vновый = Vстарый : 3 : 3 · 4,5 = 1,5 Vстарый

Ответ: 1,5.

изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?
Решение.


Шары изготовлены

из одного и того же материала.
Следовательно, масса меняется по тому же закону, что и объем.

Ответ: 6.

Vстарый = 0,75;

Растяжение в 2 раза по всем осям ⇒ a = b = c = 2.

Vновый = Vстарый · a3 = 0,75 · 23 = 6

объемов.

Разница лишь в степени:

Vновый = Vстарый · n³,

поскольку объем — это «трехмерная» величина и объем измеряется в кубических метрах (м³);

Sновая = Sстарая · n², поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м²).

Если все стороны многогранника увеличить в n раз, то
его площадь увеличится в n2 раз: Sновая = Sстарая · n2
Аналогично, если все стороны сжать в n раз, то площадь
уменьшится в n2 раз.

его рёбра увеличить в десять раз?
Ответ: 100.
Решение.
Подставляем n = 10

в формулу площади:
Sновая = Sстарая · 102  = 100 · Sстарая
Площадь увеличится в 100 раз.

сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.
Решение.
Sновая = Sстарая : n2 =

175 : 52 = 175 : 25 = 7

Ответ: 7.

второго конуса радиус основания и высота в 3 раза больше,

чем у первого. Найдите площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 324 см2.
Решение.
1. n = 3 —растяжение по каждой оси;
2. Sновая = 324 — площадь второго конуса.
Sновая = Sстарая · n2 324 = Sстарая · 9 Sстарая = 324 : 9 = 36
Ответ: 36.