Занятие 10. (2 часа) Кинематика точки

— это движение с постоянной скоростью:
v = const.
Для прямолинейного равномерного

движения (рис. 10.1а)







Рис.10.1.
Полное ускорение движения точки равно нулю: а = 0.

ускорению:
α = αn
Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении

можно получить, проделав ряд несложных операций.
Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой:
S = So+vt,
где So — путь, пройденный до начала отсчета.

= const.
Для прямолинейного равнопеременного движения



Полное ускорение равно касательному ускорению.
Криволинейное

равнопеременное движение (рис. 10.2):

рис. 10.2

и ускорений в зависимости от времени.
а) Равномерное движение (рис. 10.3)
Рис.

10.3 Кинематический график равномерного движения

равноускоренное движение б) равнозамедленное движение

пройденный за время движения (рис. 10.6).

м до остановки. Считая движение равнозамедленным, определить время торможения.

всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему

начальному положению (рис. 11.1, 11.2).
При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы. Поэтому для описания движения тела можно рассматривать движение одной его точки, обычно центра масс.
Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Рис.11.1 Поступательное движение Рис.11.2 Поступательное движение

вокруг общей неподвижной оси.
Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки

тела называется осью вращения.
При этом каждая точка движется по окружности, радиус которой равен расстоянию точки до оси вращения. Точки на оси вращения не перемещаются.
Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси можно использовать только угловые параметры (рис. 11.3):

Рис.11.3. Вращательное движение

φ — угол поворота тела, [φ]= рад;
ω — угловая скорость, определяет изменение угла поворота в единицу времени, [ω] = рад/с.

φ = f(t).
Следовательно, для определения угловой скорости можно

пользоваться выражением:


Иногда для оценки быстроты вращения используют угловую частоту вращения n, которая оценивается в оборотах в минуту.
Угловая скорость и частота вращения физически близкие величины:



Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением ε, [ε] = рад/с2;

постоянна):
ω - const.
Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае имеет

вид:


где φ0 — угол поворота до начала отсчета.
Кинематические графики для этого вида движения изображены на рис. 11.4.






Рис.11.4. Кинематические графики равномерного вращения

ε =const
Уравнение (закон) равнопеременного вращения



где ω0 — начальная угловая

скорость.
Угловое ускорение при ускоренном движении — величина положительная; угловая скорость будет все время возрастать.
Угловое ускорение при замедленном, движении — величина отрицательная; угловая скорость убывает.
Для данного движения кинематические графики представлены на рис. 11.5.




Рис.11.5. Кинематические графики равноускоренного движения.

О. Определим параметры движения точки А, расположенной на расстоянии rA

от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).






Путь точки A: SA = ωrA
Линейная скорость точки A: vA = ωrA
Ускорения точки A: at A = εrA — касательное;
an A = ω2rA — нормальное,
где rA — радиус окружности, траектории точки А.

несколько простых. Простыми движениями считают поступательное и вращательное.
Для рассмотрения сложного

движения точки выбирают две системы отсчета: подвижную и неподвижную.
Движение точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета называют сложным, или абсолютным.
Подвижную систему отсчета обычно связывают с движущимся телом. Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной называют переносным.
Движение материальной точки (тела) по отношению к подвижной системе называют относительным.
Примером может служить движение человека по эскалатору метро. Движение эскалатора — переносное движение, движение человека вниз или вверх по эскалатору — относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам станции — сложное (абсолютное) движение.

движении точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометрической

сумме переносной (ve) и относительной (vr) скоростей:





a — угол между векторами ve и vr.

твердого тела, при котором все точки тела перемещаются параллельно некоторой

неподвижной в рассматриваемой системе отсчета плоскости.





Рис.12.1. Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельное движение можно изучать, рассматривая любое плоское сечение тела, параллельное неподвижной плоскости, называемой основной (рис. 12.1).
Все точки тела, расположенные на прямой, перпендикулярной к основной плоскости, движутся одинаково.
Плоскопараллельное движение изучается двумя методами: методом разложения сложного движения на поступательное и вращательное и методом мгновенных центров скоростей.

раскладывают на два движения:
поступательное вместе с некоторым полюсом
вращательное относительно

этого полюса.
Разложение используют для определения скорости любой точки тела, применяя теорему о сложении скоростей (рис. 12.2).









Рис.12.2. Метод разложения сложного движения на поступательное и вращательное

вокруг В с угловой скоростью ω, тогда абсолютная скорость точки

А будет равна

определять с помощью мгновенного центра скоростей.
При этом сложное движение

представляют в виде цепи вращений вокруг разных центров.
Задача сводится к определению положения мгновенного центра вращений (скоростей) (рис. 12.4).









Рис.12.4. Метод определения мгновенного центра скоростей

которой в данный момент равна нулю.
Вокруг этой точки тело совершает

поворот со скоростью ω
Скорость точки А в данный момент равна
vA = ωОА,

т.к. vA — линейная скорость точки А, вращающейся вокруг МЦС.
Существуют три способа определения положения мгновенного центра скоростей.

скорость вращения тела ω (рис. 12.5).
Точку О находим на перпендикуляре

к вектору скорости vA







Соединяем точку О с точкой Д замеряем расстояние ОБ,

и они не параллельны
(рис. 12.6).
Проводим из точек А и

В два перпендикуляра к известным векторам скоростей.
На пересечении перпендикуляров находим МЦС.
Далее можно
найти скорость любой точки С.

(vA || vВ) (рис. 12.7).










Соединяем концы векторов, МЦС находится на

пересечении линии, соединяющей концы векторов с линией АВ (рис. 12.7). При поступательном движении тела (рис. 12.7в) МЦС отсутствует.

о трении.

котором устанавливается связь между движением тел и действующими на них

силами.
В динамике решают два типа задач:
— определяют параметры движения по заданным силам;
— определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематическим параметрам движения.
При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку.
Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.
При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рас­сматривать как совокупность материальных точек.
Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.

находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока

приложенные силы не выведут ее из этого состояния.
Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.
Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертность является масса тела.
Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица из­мерения массы — килограмм (кг).

между силой, действующей на материальную точ­ку, и сообщаемым ею ускорением

следующая:



На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:





Где g = 9,81 м/с 2 , ускорение свободного падения.
G – сила тяжести

равны по величине и направлены по одной прямой в разные

стороны
(рис. 13.1):

сил действует так, как она действовала бы одна.
Ускорение, сообщаемое точке

системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности (рис. 13.2):

движении одного шероховатого тела по поверхности другого.
При скольжении тел

возникает трение скольжения, при качении — трение качения. Природа сопротивлений движению в разных случаях различна.
а) Трение скольжения
Причина — механическое зацепление выступов. Сила сопротивления движению при скольжении называется силой трения скольжения (рис. 13.3а).

— угол наклона плоскости к горизонту.
Сила трения всегда направлена в

сторону, обратную направлению движения.

Законы трения скольжения:
Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления:


где R — сила нормального давления, направлена перпендикулярно опорной поверхности;
f — коэффициент трения скольжения.

называемого силой трения покоя (статическое трение):


Ffo — статическая сила трения

(сила трения покоя).
3. Сила трения при движении меньше силы трения покоя.
Сила трения при движении называется динамической силой трения (Ff )


Поскольку сила нормального давления, зависящая от веса и направления опорной поверхности, не меняется, то различают статический и динамический коэффициенты трения:

делятся на
фрикционные (с большим коэффициентом трения)
антифрикционные (с малым

коэффициентом трения), например f = 0,1- 0,15 (при скольжении стали по стали всухую), f = 0,2- 3 (при скольжении стали по текстолиту)
от наличия смазки, например f = 0,04 - 0,05 (при скольжении стали по стали со смазкой);
от скорости взаимного перемещения.

и колеса и значительно меньше трения скольжения.
Обычно считают грунт мягче

колеса, тогда в основном деформируется грунт, и в каждый момент колесо должно перекатываться через выступ грунта.

Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу Fдв
(рис. 13.4).

быть не меньше момента сопротивления:




где k — максимальное значение плеча

(половина колеи) принимается за коэффициент трения качения, размерность — сантиметры.
Ориентировочные значения k (определяются экспериментально):
сталь по стали k = 0, 005 см
резиновая шина по шоссе — к = 0,24 см.