Производная функции

некоторой окрестности фиксированной точки х0.
Разность х-х0 называется приращением независимой

переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х.
∆х = х – х0 – приращение независимой переменной.
Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке.
f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f
∆f=f(х0+∆х) – f(х0)

предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению

аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю.

следующей схеме:
1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем

наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).
2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).
3. Составляем отношение
4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.




( если этот предел существует).

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
А
В
Итог
Геометрический смысл

производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где

s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 .
К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) – путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t).
Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет
Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью точки в момент t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q

изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения
- скорость химической реакции в данный момент
времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением


а мгновенная скорость распада в момент времени t

.

точке x.
1) (u  v) = u  v
2) (uv)

= uv +uv
(cu) = cu
3) , если v  0