Решение тригонометрических уравнений

Наталья Васильевна
10 класс
МОУ «Киришский лицей»

решении тригонометрических уравнений.

Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Различать типы тригонометрических

уравнений и знать способы их решений.
3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.

Выделение основных проблем при решении
этих уравнений:
Потеря корней.
Посторонние корни.
Отбор корней.

х2 – 8 х + 15 = 0
В) 4 х2

– 4 х + 1= 0
Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0
Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы
4
3; 5
0,5
-2; -1; 1; 2
-2; 2

1)
Б) sin2 a – 1 + cos2 a
В) sin2 a

+ tg a ctg a + cos2 a

Г)

Ответы
- cos2 a
0
2

|1- tg х|

у π/2 90°
1
120° 2π/3 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°



180° π -1 0 1 0 0° x
-1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]

225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]

-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(-

а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

2)arccos( )

Примеры:

а

- а

arcsin(- а)= - arcsin а

Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

(-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а)

= - arctg а

-а

arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .

arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

√2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (- √3/2)
arctg √3

2

вариант
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3

√2/2
π/4
0
- π/6
5π/6

π/3

Ответы 2 вариант
√2/2
√3/2
√3
1
- 1/2
- √3/2
π/4
π/2
2π/3
- π/3
π/6

≤ 1


или

Частные случаи
1) cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2) cost=1

t = 2πk‚ kЄZ

3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ

| а |≤ 1


или

Частные случаи
1) sint=0
t =

πk‚ kЄZ

2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

= arctg а + πk‚ k ЄZ
4. ctgt = а,

а ЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ:

[-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]

1;

t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ

t= ± + 2πk,

kЄZ

Частный случай:
t = πk, kЄZ

t = arctg1+πk, kЄZ

t = + πk, kЄZ.

(-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 +

πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где

|p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и

cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m

Виды тригонометрических уравнений

Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.

Получим








Ответ:

sin²x) и методом введения новой переменной.
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x

= 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Виды тригонометрических уравнений

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
   Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
 
                             tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
 
                             корни этого уравнения:  y1 = −1,  y2 = −3,  отсюда
                           1)   tg x = –1,  2)   tg x = –3,

Ответ:

C. А, В, С ≠

0

  sin x + cos x = 1 .
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения
влево: 
                      sin x + cos x – 1 = 0 ,

тригонометрической подстановки

Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.


А sinx + B

cosx = C

подстановка.
х ≠ π + 2πn;

Проверка обязательна!

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

сумму – делай произведение.

мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

возводим в

четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.

5 cos x = 0
5 sin2 х - 3 sinх

cos х - 2 cos2х =0
На «4»
3 cos2х + 2 sin х cos х =0
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
На «5»
2 sin x - 5 cos x = 3
1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

Вариант 2.
На «3»
cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
2 sin2 x – sin x cosx =0
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
2 sin x - 3 cos x = 4
2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0