Разделы презентаций


Решение тригонометрических уравнений

Содержание

Содержание.Вводная часть, повторение теоретического материала. Решение тригонометрических уравнений.Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Учитель: Копеина

Наталья Васильевна
10 класс
МОУ «Киришский лицей»

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙУчитель: Копеина         Наталья Васильевна10 классМОУ «Киришский лицей»

Слайд 2Содержание.
Вводная часть, повторение теоретического материала.

Решение тригонометрических уравнений.

Проблемы, возникающие при

решении тригонометрических уравнений.


Содержание.Вводная часть, повторение теоретического материала. Решение тригонометрических уравнений.Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

Слайд 3ЦЕЛЬ:
Повторить решение тригонометрических
уравнений.
1.

Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Различать типы тригонометрических

уравнений и знать способы их решений.
3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.

Выделение основных проблем при решении
этих уравнений:
Потеря корней.
Посторонние корни.
Отбор корней.


ЦЕЛЬ:  Повторить решение тригонометрических    уравнений.1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.2. Различать

Слайд 4Устная работа.
Решите уравнения
А) 3 х – 5 = 7
Б)

х2 – 8 х + 15 = 0
В) 4 х2

– 4 х + 1= 0
Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0
Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы
4
3; 5
0,5
-2; -1; 1; 2
-2; 2

Устная работа.Решите уравненияА) 3 х – 5 = 7 Б) х2 – 8 х + 15 =

Слайд 5Устная работа
Упростите выражения
А) (sin a – 1) (sin a +

1)
Б) sin2 a – 1 + cos2 a
В) sin2 a

+ tg a ctg a + cos2 a

Г)

Ответы
- cos2 a
0
2

|1- tg х|

Устная работаУпростите выраженияА) (sin a – 1) (sin a + 1)Б) sin2 a – 1 + cos2

Слайд 6
Повторим значения синуса и косинуса

у π/2 90°
1
120° 2π/3 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°



180° π -1 0 1 0 0° x
-1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]

225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]

-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

























Повторим значения синуса и косинуса

Слайд 7Арккосинус

0
π
1
-1
arccos(-а)
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π],

что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(-

а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π



2)arccos( )



Арккосинус0π1-1arccos(-а)Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], чтоcos t = а. Причём, | а

Слайд 8Арксинус









Примеры:


а









- а

arcsin(- а)= - arcsin а

Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.


Арксинус

Слайд 9Арктангенс

0
arctgа = t
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из

(-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а)

= - arctg а




arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4


Арктангенс0arctgа = tАрктангенсом числа а называетсятакое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а .Причём,

Слайд 10Арккотангенс

у
х


0
π
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t

из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .


arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6


Арккотангенсух0πarcctg а = tАрккотангенсом числа а называетсятакое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а.Причём,

Слайд 11Повторение
1 вариант
sin (-π/3)
cos 2π/3
tg π/6
ctg π/4
cos (-π/6)
sin 3π/4
arcsin

√2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (- √3/2)
arctg √3

2

вариант
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3

Повторение1 вариантsin (-π/3)cos 2π/3tg π/6ctg π/4 cos (-π/6)sin 3π/4 arcsin  √2/2arccos 1arcsin (- 1/2 )arccos (-

Слайд 12Повторение
Ответы 1 вариант
- √3/2
- 1/2
√3/3
1
√3/2

√2/2
π/4
0
- π/6
5π/6


π/3

Ответы 2 вариант
√2/2
√3/2
√3
1
- 1/2
- √3/2
π/4
π/2
2π/3
- π/3
π/6


ПовторениеОтветы 1 вариант- √3/2- 1/2 √3/3   1 √3/2 √2/2 π/4 0 - π/6

Слайд 13Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
1.cost = а , где |а|

≤ 1


или

Частные случаи
1) cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2) cost=1

t = 2πk‚ kЄZ

3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ





Формулы корней простейших тригонометрических уравнений1.cost = а , где |а| ≤ 1илиЧастные случаи1)  cost=0t = π/2+πk‚

Слайд 14Формулы корней простейших тригонометрических уравнений



2. sint = а, где

| а |≤ 1


или

Частные случаи
1) sint=0
t =

πk‚ kЄZ

2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ


Формулы корней простейших тригонометрических уравнений2.  sint = а, где | а |≤ 1илиЧастные случаи1) sint=0

Слайд 15Формулы корней простейших тригонометрических уравнений






3. tgt = а, аЄR
t

= arctg а + πk‚ k ЄZ
4. ctgt = а,

а ЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ


Формулы корней простейших тригонометрических уравнений3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk‚ k ЄZ4.

Слайд 16При каких значениях х имеет смысл выражение:
1.arcsin(2x+1)
2.arccos(5-2x)
3.arccos(x²-1)
4.arcsin(4x²-3x)

1) -1≤ 2х+1 ≤1

-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ:

[-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]






При каких значениях х имеет смысл выражение:1.arcsin(2x+1)2.arccos(5-2x)3.arccos(x²-1)4.arcsin(4x²-3x)1) -1≤ 2х+1 ≤1   -2≤ 2х ≤0

Слайд 17Примеры:
cost= - ;

2) sint = 0;
3) tgt =

1;

t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ

t= ± + 2πk,

kЄZ

Частный случай:
t = πk, kЄZ


t = arctg1+πk, kЄZ

t = + πk, kЄZ.




Примеры:cost= -   ;2) sint = 0;3) tgt = 1;t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZt= ±

Слайд 18Решение простейших уравнений
tg2x = -1

2x = arctg

(-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 +

πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.


Решение простейших уравненийtg2x = -1   2x = arctg (-1) + πk, kЄZ   2x

Слайд 19Виды тригонометрических уравнений
1.Сводимые к квадратным
Решаются методом введения новой переменной

a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где

|p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.


Виды тригонометрических уравнений1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной  a∙sin²x + b∙sinx + c=0Пусть sinx

Слайд 202.Однородные
1)Первой степени:
Решаются делением на cos х (или sinx) и

методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и

cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m

Виды тригонометрических уравнений

Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.

Получим








Ответ:


2.Однородные1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной.a∙sinx + b∙cosx =

Слайд 212) Однородные уравнения второй степени:
Решаются делением на cos² х (или

sin²x) и методом введения новой переменной.
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x

= 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Виды тригонометрических уравнений

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
   Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
 
                             tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
 
                             корни этого уравнения:  y1 = −1,  y2 = −3,  отсюда
                           1)   tg x = –1,  2)   tg x = –3,

Ответ:


2) Однородные уравнения второй степени:Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной.a∙sin²x +

Слайд 22Виды тригонометрических уравнений
3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx =

C. А, В, С ≠

0




  sin x + cos x = 1 .
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения
влево: 
                      sin x + cos x – 1 = 0 ,


Виды тригонометрических уравнений3. Уравнение вида:А sinx + B cosx = C.      А,

Слайд 23Виды тригонометрических уравнений
4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной

тригонометрической подстановки

Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.


А sinx + B

cosx = C
















Виды тригонометрических уравнений4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной  тригонометрической подстановкиРешаются с помощью введения вспомогательного аргумента.А

Слайд 24Формулы.


Универсальная

подстановка.
х ≠ π + 2πn;

Проверка обязательна!

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.


Формулы.         Универсальная подстановка.х ≠ π + 2πn;

Слайд 25Правила.
Увидел квадрат – понижай степень.

Увидел произведение – делай сумму.

Увидел

сумму – делай произведение.

Правила.Увидел квадрат – понижай степень.Увидел произведение – делай сумму. Увидел сумму – делай произведение.

Слайд 261.Потеря корней:

делим на g(х).
опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями

мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

возводим в

четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.


1.Потеря корней: делим на g(х).опасные формулы (универсальная подстановка).Этими операциями мы сужаем область определения.2. Лишние корни:  возводим

Слайд 27Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам
Вариант 1.
На «3»
3 sin x+

5 cos x = 0
5 sin2 х - 3 sinх

cos х - 2 cos2х =0
На «4»
3 cos2х + 2 sin х cos х =0
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
На «5»
2 sin x - 5 cos x = 3
1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0

Вариант 2.
На «3»
cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
2 sin2 x – sin x cosx =0
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
2 sin x - 3 cos x = 4
2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0

Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмамВариант 1.На «3»3 sin x+ 5 cos x = 05 sin2 х

Слайд 28Спасибо
За
внимание!

Спасибо Завнимание!

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика