Какими должны быть оптимальные размеры жестяной консервной банки? 11 класс

учащиеся 11 «б» класса: Удалая Екатерина, Катькова Людмила, Погромский Василий.

радиусом основания r.
При изготовлении банки заданного объёма V оптимальными будут

такие размеры её, при которых на изготовление пойдёт минимальное количество жести, измеряемое площадью полной поверхности банки S.
Если нужно изготовить банку из имеющихся жестяных заготовок, т.е. фиксировано S, то оптимальны те её размеры, при которых будет наибольшим объём.

h

r

первую из них.
Найдём соотношение между h и r, при котором

S будет наименьшим.
Так как V = π r²h, то h = V/π r² и тогда S(r) = 2π r + 2V/r – функция одной переменной r.
Очевидно, что область определения функции S есть интервал (0; +∞).
Заменим вычисление значений функции на концах отрезка исследованием её поведения на границах области определения.

;
При r → 0 S(r) → +∞ . (1)
Найдём производную

функции S: S̒ (r) = 4π r - 2V/r².
Производная S̒ (r) существует во всех точках интервала (0; +∞) и обращается в нуль в единственной точке r = ³√ V/2π.
Из соотношений (1) следует, что в этой точке S имеет наименьшее значение.
Таким образом, задача имеет решение:
min S (r) = S (³√ V/2π) или при h = 2r.
r (0; +∞)