Магические квадраты

Лонская Т.А., учитель математики

совершенных видов кросс-сумм является так называемый магический (или волшебный) квадрат.

Придуманы

магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое ранее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры.

выше. Черными кружками в этом квадрате изображены четные (женственные) числа,

белыми – нечетные (мужественные) числа.
В обычной записи он не так эффектен:

кросс-сумм! Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках квадрата так,

что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство магического квадрата).
Более поздние сведения о магических квадратах относящиеся уже к 1 веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности:

шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата.
Действительно:

двух суммах, а числа расположенные по диагоналям даже в трёх,

и все эти суммы равны между собой!
Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.
Вся эта своеобразная мозаика чисел с её постоянством сумм действительно придаёт квадрату «волшебную» силу произведения искусства.
И магические квадраты вошли в искусство.
В «Фаусте» Гете есть сцена приготовления колдуньей омолаживающего зелья.
Слова, которыми колдунья сопровождает свои манипуляции, обычно воспринимаются читателями «Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:

чувство художественной меры и отдать абракадабре целых 13 строк поэтического

текста!
Литературные комментаторы и исследователи бесплодно тратили усилия на поиски смыcла, скрытого в этом тринадцатистишии: Очевидно, y них не возникала мысль попытаться воспроизвести на бумаге рекомендации колдуньи.

Давайте это сделаем. построим квадрат из девяти ячеек и разместим в ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним указания колдуньи:
Из 1 делаешь 10 — в первой ячейке заменяем ЧИСЛО 1 числом 10.
Числа 2 и 3 оставляем на своих местах, так как сказано: пропускаешь 2, a также 3.
Зачеркиваешь 4 — это значит заменяем нулем число 4.
Заменяем 5 и 6 числами 7 и 8, а в ячейки, занятые числами 7 и 8, вписываем 5 и 6

9

8

7

6

5

4

3

2

1

10

0

надо в последней ячейке квадрата заменить девятку числом 4
Вот

теперь формирование «талисмана» окончено и последние три строки тринадцатистишия уже ничего не добавляют к пониманию смысла «заклинаний» колдуньи. Особенность получившегося квадрата состоит в том, что магическая константа (15) получается только при сложении чисел вдоль любой строки и любого столбца, но не вдоль диагоналей.
Квадрат с таким свойством чисел, занимающих его ячейки, принято называть полумагическим.
Превращением начального квадрата в полумагический Гете символизировал процесс омoложeния Фауста.

9

8

7

6

5

4

3

2

10

0

Пришельцы из Китая и Индии

начале XV века. A в начале XVI века один из

них был увековечен выдающимся немецким художником, гравером и немного математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре «Меланхолия» (1514 г.).

Дюрер воспроизвел на гравюре (в несколько измененном виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел.

Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным свойством. Подобно тому, как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится немало красивых свойств, помимо основного.

чисел, расположенных по углам нашего магического квадрата, равна 34, то

есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата:

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже одинаковы и каждая из них равна 34:

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

1

4

13

+

+

+

=

34

Свойства магического квадрата А.Дюрера

которых - 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел,

сумма которых -19.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

+

+

=

=

Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

+

15

19

Как видите, получились попарно равные суммы!

Свойства магического квадрата А.Дюрера

квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой, и суммы

квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.

Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, получим то, что показано на рисунке а, выше:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон, и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34:
12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34;
б) еще интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

Свойства магического квадрата А.Дюрера

то есть - числа первого столбца в той же последовательности

расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т.д., то квадрат останется магическим с теми же его свойствами.

Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Магический квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным» магическим квадратом (полумагическим квадратом).
Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые магические и полумагические квадраты из 16 чисел.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

При обмене местами отдельных строк или столбцов магического квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем, местами первую и вторую строки данного квадрата, получим то, что показано на рисунке справа:

Свойства магического квадрата А.Дюрера

все целые числа от 1 до 16 или от 1

до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.
Количеством клеток (чисел) в каждом ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.

дополняем его до, симметричной ступенчатой фигуры со ступеньками в одну

клетку.
В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25.
А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа…

15

2

19

6

23

22

14

1

18

10

9

21

13

5

17

16

8

25

12

4

3

20

7

24

11

A

B

C

D

дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные симметрично относительно центральной клетки,

дают одинаковые суммы.
Например:
1+25=19+7=18+8=23+3=
=6+20=2+24=4+22 и т. д.
Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметричными.

15

2

19

6

23

22

14

1

18

10

9

21

13

5

17

16

8

25

12

4

3

20

7

24

11

=26

n=4, 8, 12, ..., 4k удобна, например, такая простая схема:

Разместить

числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке);
Выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2
В пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10.
Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1