Некоторые следствия из аксиом

прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и

притом только одна.

М

a

иллюстрацией следствия из аксиомы является карандаш лежащий на полу и

.

можно провести плоскость, и притом только одну.
м
А
В
Дано: Мm
Так как

Мm, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости .. Таким образом, плоскость  проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости  и  проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость  единственна.
Теорема доказана

Доказательство

Пусть точки A, B  m.

притом только одну.
к

две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна
М
a
b
N

и притом только одну.
N
Дано: m  n = M
Доказательство
Отметим

на прямой m произвольную точку N, отличную от М.

Рассмотрим плоскость  =(n, N). Так как M  и N, то по А-2 m  . Значит обе прямые m, n лежат в плоскости  и следовательно , является искомой
Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости  и проходящая через прямые m и n, плоскость .
Так как плоскость  проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости  доказана.
Теорема доказана