Правильные многогранники

многогранники
Платоновы тела
Проектная работа по геометрии
Учени 11 класса «А»
16.11.2012

многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из

одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

называется правильным, если:
он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в

каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

всего пять правильных многогранников:
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Гексаэдр(куб)
Додекаэдр

(греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются

четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

тетраэдра:
Параллельные плоскости, проходящие через пары
скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный

около тетраэдра параллелепипед.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в
одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
Плоскость, проходящая через середины двух
скрещивающихся рёбер тетраэдра делит его на две равные по объёму части.

Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα

— «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников. Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

(от греч. εικοσάς — двадцать; -εδρον — грань, лицо, основание)

— правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

икосаэдра:
Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно
перпендикулярных

рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре
вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом
вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением
вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.

Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12
вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20
правильных тетраэдров.

или гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой

квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Гексаэдр имеет 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин.

куба
Четыре сечения куба являются правильными
шестиугольниками — эти сечения проходят через

центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В
обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба.

В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин
октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь
вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно
параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

(от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) —

двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.

Кеплера
Сначала Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего пять

правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

закона движения планет Кеплера:
На основе обобщения данных, полученных в результате

наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в
одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости,
проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом-вектором, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты
вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Но это были только гипотезы, пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643-1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказала свою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многие небесные явления.

солнечной системы Кеплера:

в окружающем мире
Правильные многогранники встречаются в совершенно разных науках и

везде в окружающем мире:
Молекулы веществ в химии
тела вирусов
Игральные кости
А так же и в других совершенно различных местах нашей вселенной, например Платон сопоставлял додекаэдр с моделью нашей вселенной. О нём он писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»

за внимание!