Сфера 11 класс

Римма Артемовна

геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном

расстоянии r от данной точки.

r – радиус;

d – диаметр

на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).
Сфера –

тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

т. О – центр сферы

О

D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

D = 2R

R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

также центром, радиусом и диаметром шара.
Шар радиуса R и центром

О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

происходят от греческого слова «сфайра» - мяч.
В древности сфера

и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы.
Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».
Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.
Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники.

центром в т.О
3. Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан)
4. Изобразить невидимую

вертикальную дугу

5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)

6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу

7. Провести радиус сферы R

О

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2



С(х0;у0)
М(х;у)
х
у
О
Зададим

прямоугольную систему координат Оxy

Построим окружность c центром в т. С и радиусом r

Расстояние от произвольной т. М (х;у) до т.С вычисляется по формуле:

МС = (x – x0)2 + (y – y0)2

МС = r , или МС2 = r2

уравнение сферы.
Решение
так, как уравнение сферы с

радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

– z0)2 = R2


х
у
z


М(х;у;z)
R
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz
Построим

сферу c центром в т. С и радиусом R

МС = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2

МС = R , или МС2 = R2

C(x0;y0;z0)

следовательно уравнение
сферы имеет вид:

и окружность имеют 2 общие точки.

d= r

d> r
Если d =

r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.

Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Возможны 3 случая

R возможны 3 случая…


Введем прямоугольную систему координат Oxyz
Построим

плоскость α, сов-падающую с плоскостью Оху

Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0;d), где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

Рассмотрим 1 случай
d < R, т.е. если расстояние от

центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r.

r = R2 - d2

М

С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют

одну общую точку

Взаимное расположение сферы и плоскости

Рассмотрим 2 случай

плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют

общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Рассмотрим 3 случай

9 дм от центра. Найти радиус сечения.
Дано:
Шар с центром в

т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм

Найти: rсеч = ?

Решение:
Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600 отсюда rсеч = 40 дм

Ответ: rсеч = 40 дм

r

Сферу нельзя развернуть на плоскость.
Опишем около сферы многогранник, так

чтобы сфера касалась всех его граней.

За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

Sшара=4 Sкруга

сфера
R = 6 см
Найти:
Sсф = ?

Решение:
Sсф = 4πR2
Sсф

= 4π 62 = 144π см2

Ответ: Sсф = 144π см2

плоскости;
площадь поверхности сферы.