Векторы в пространстве

на плоскости и действиями над ними. Основные понятия для векторов

в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

называется длина отрезка АВ.

Длина вектора (вектора ) обозначается так: .
Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора коллинеарны и если при этом лучи сонаправлены, то векторы называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленным и, то
векторы называются противоположно направленными.

На рисунке 1,а изображены ненулевые
векторы нулевой вектор , а на рисунке 1,б — ненулевые векторы а, , имеющие общее начало. Нулевой вектор обозначается также символом

считаются сонаправленными.
- векторы

противоположно направлены.
На рисунке 2 изображены векторы ,
; векторы не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, т.к. они не коллинеарны.

Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

равны. На рис. 2 ,

т.к. и ,
а , т.к. .

Если точка А — начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А.
От любой точки можно отложить вектор, равный данному, а притом только один.

и :

.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Сумма не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор .

Правило треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство

параллелограмма, известным из курса планиметрии.

справедливы равенства:

(переместительный закон);
(сочетательный закон)

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.
Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.
Очевидно, вектор является противоположным вектору .

вектор, сумма которого с вектором равна вектору

. Разность векторов а и b можно найти по формуле



Где - вектор, противоположный вектору .


На рисунке представлены два способа построения разности двух данных векторов и .