Вневписанная окружность

22
научный руководитель
учитель высшей категории
Плеснявых Елена Аслановна

Основная часть
Глава 1. Определение вневписанной окружности.
Центр вневписанной окружности.
Касательная к вневписанной окружности.
Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных
окружностей.
§ 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и
периметром треугольника
§ 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и
периметром треугольника
Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей.
§ 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через
радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
§ 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, через величину обратную радиусу вписанных
окружностей.
§ 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов
вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
треугольника.
§ 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей
через произведение радиуса вписанной окружности и
квадрат полупериметра треугольника.
§ 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных
окружностей.
Заключение.
Библиография.

одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон
М
N
H

угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и

биссектрис двух внешних углов треугольника (1)

Дано:
АВС
Окр. (О; r)
М, N, К – точки касания
Доказать (1)

Решение:
Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника

АВ1 = АС1 = p

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )

Доказать, что
АВ1 = АС1 = p

Доказательство:
Т.к. Оа - центр вневписанной
окружности. Касательные, прове -
денные к окружности из
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е. АВ1 = АС1 = p.

Оа

В1

ra

ra

ra

А

В

С

С1

А1

α/2

α/2

внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины

этого угла, т. е. ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg (2)

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)

Доказать (2)



Решение:
В прямоугольном треугольнике А Оа С1
ra и p – длины катетов, угол Оа А С1
равен , поэтому ra = ptg .

А

В

С

Оа

p

p

В1

С1

b

c

ra

ra

ra

отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е.

ra = , rb = , rc = (3)

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)

Доказать (3)





Решение:
Имеем
S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е.

ra =

А

В

С

Оа

p

p

В1

С1

b

c

ra

ra

ra

радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е.

ra + rb + rc = r + 4R

Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:
r = , R = , ra = , rb = , rc =

Значит,
ra + rb + rc – r = + + - =

= =

= = = 4R

обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:

r = , R = , ra = , rb = , rc =

Значит,

квадрату полупериметра треугольника, т. е.

rarb + rbrc + rcra = p2

Доказательство:
Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:

r = , ra = , rb = , rc =

Подставим





Из формулы Герона следует

(p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е.

rarbrc = rp2

Доказательство:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона

ra = , rb = , rc = ,


Тогда

вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.

Доказательство:

Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp.

Следовательно

трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.

Доказательство:

Из следствия 1, что и равенства S = pr,

получаем, перемножая их почленно,

. Значит

сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух

других сторон треугольника, т.е. , ,

Доказательство:
Воспользуемся формулами
,
Значит,





,

окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами

вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой.

3. Заключение.