Теория атома водорода по Бору

физики Чувашского государственного университета Сорокин Геннадий Михайлович

выдающийся датский физик теоретик, один из создателей современной физи­ки, член

Датского королевского об-ва (1917), президент с 1939. Р. в Копенгагене. Окончил Копенгагенский ун-т (1908). В 1911 — 12 рабо­тал в Кембридже у Дж. Дж. Томсона, в 1912—13 —в Манчестере у Э. Резерфорда. С 1916 — профессор Копенгагенского ун-та и с 1920 — директор созданного им Ин-та теоретической физики, который стал между­народным центром физиков-теоретиков и сыграл большую роль в международном об­щении ученых (Ин-т Нильса Бора).
Как ученый Бор формировался в очень острый для физики период, когда она вплот­ную подошла к изучению мира атомных процессов и связанных с ними полей. Ра­боты М. Планка, А. Эйнштейна, анализ спектров излучения атомов уже показали не­обычность закономерностей микромира. Был накоплен огромный экспериментальный материал, весьма противоречивый в свете ранее известных законов. Нужен был прин­ципиально новый подход для создания физи­ческой картины атомных процессов. Важная заслуга. Бора и состояла в том, что он нашел такой подход. Он ориентировал физиков на исследование противоречивых сторон физической реальности микромира, сформулировал идею о дискретности энергетических состояний атомов, в свете новых идей по­строил атомную модель, открыв условия устойчивости атомов, и объяснил большой круг явлений.
В 1913, исходя из идеи М. Планка о квантовании энергии, Бор на основе модели ато­ма Резерфорда создал свою теорию водородоподобного атома, основанную на двух постулатах, которые прямо противоречили классическим представлениям и законам. Это была первая квантовая модель атома, положившая начало новой эре в атомной теории. Согласно этой теории планетарная структура атома и свойства его спектра из­лучения легко объясняются, если предполо­жить, что движение электрона в атоме «под­чиняется» некоторым ограничениям, ко­торые Бор сформулировал в виде двух постулатов. Бор установил наличие в атоме стационарных разрешенных орбит, двигаясь по которым электрон, вопреки законам элек­тродинамики, не излучает энергию, однако может скачком перейти на более близкую к ядру также разрешенную орбиту, испустив при этом квант энергии, равный разности энергий атома в стационарных состояниях, разработал некоторые правила квантования. Теория Бора позволила объяснить целый ряд сложных вопросов строения атома и фактов, чего не в состоянии была сделать классическая физика. В частности, Бор на­шел основные законы спектральных линий и электронных оболочек атомов, объяснил (1923) особенности периодической системы химических элементов, предложив свой ва­риант изображения периодической системы элементов, и в том же году пришел к пред­ставлению об оболочечной структуре атома, основанной на классификации электронных орбит по главному и азимутальному кван­товым числам. За создание квантовой тео­рии планетарного атома в 1922 удостоен Но­белевской премии.

по­казывающий, когда именно существенны квантовые ограничения, а когда достаточно и

классической физики. Многое сделал Бор для становления и интерпретации квантовой механики, воз­никшей в 20-х годах нашего века. Усилиями Бора и его сотрудников и учеников была со­здана стройная система физических идей квантовой механики. В 1927 сформулировал важный для ее понимания принцип дополни­тельности, что привело к его известным ди­скуссиям с А. Эйнштейном о детерминизме. Критика со стороны Эйнштейна, по при­знанию самого Бора, способствовала более глубокому пониманию им квантовой ме­ханики.
В интерпретации новых идей и фактов, в теории познания Бор иногда высказывал ошибочные философские утверждения, а от­дельные его формулировки служили пово­дом для истолкования его высказываний в позитивистском духе. Однако, как пишет В. А. Фок, «общее впечатление от всех работ Бора, начиная с самых первых, — их глубокая диалектичность. Бора не волнуют противо­речия, возникающие тогда, когда к суще­ственно новым явлениям природы подходят с точки зрения старых понятий и старых взглядов, он ищет разрешение противоречий в новых идеях». Советские физики и фило­софы многое сделали для материалистиче­ского осмысления положительного вклада Бора в физику. Они проводили такую ли­нию, чтобы исключить какую бы то ни было возможность для позитивистов использовать этот вклад.
Бор много сделал и для развития ядер­ной физики. Он — автор теории составного ядра (1936), один из создателей капельной модели ядра (1936) и теории деления атом­ного ядра (1939). Совместно с Дж. Уилером (независимо от Я. И. Френкеля) дал количе­ственную интерпретацию деления ядра, введя так называемый параметр деления, пред­сказал спонтанное деление урана.
В 1912 сформулировал важную теорему статистической механики, переоткрытую в 1919 Ж. Ван Левен (теорема Бора — Ван Левен).
Создал большую интернациональную школу физиков (Ф. Блох, О. Бор, В. Вай-скопф, X. Казимир, О. Клейн, X. Крамере, Л. Д. Ландау, К. Мёллер, У. Нишина, А. Пайс, Л. Розенфельд, С. Росселанд, Дж. Уи-лер и др.).
Почетный член более 20 академий наук мира, в т. ч. иностранный член АН СССР (1929) [61, 509, 557].

водорода__________________________________________ _4
§3 Постулаты Бора __________________________________________________________ 6
§4 Опыты Франца и Герца

____________________________________________________ 6
§5 Спектр атома водорода по Бору _____________________________________________8
Задачи ______________________________________________________________________10

неделимых мельчайших частицах вещества («атомос» — неразложимый) возникло еще в

античные времена (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В средние века, во времена безграничного господства церкви, учение об атомах, будучи материалистическим, естественно, не могло получить признания, а тем более дальнейшего развития. К началу XVIII в. атомистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А. Лавуазье (1743—1794, французский химик), М. В. Ломоносова и Д. Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако в это время вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы по-прежнему считались неделимыми.
Большую роль в развитии атомистической теории сыграл Д. И. Менделеев, раз­работавший в 1869 г. Периодическую систему элементов, в которой впервые на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов. Во второй половине XIX в. экспериментально было доказано, что электрон является одной из основных составных частей любого вещества. Эти выводы, а также многочисленные эксперимен­тальные данные привели к тому, что в начале XX в. серьезно встал вопрос о строении атома. Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10-10 м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заря­ду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно. В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Э. Резерфорда (1871—1937) по рассеянию α-частиц в веществе. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они являются положительно заряжен­ными частицами с зарядом 2е и массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Пучки α-частиц обладают высокой монохроматичностью (для данного превращения имеют практически одну и ту же скорость (порядка 107 м/с)).

примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначитель­ные

отклонения, но некоторые α-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как α-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение α -частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие α -частицы; следователь­но, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (плане­тарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева, е — элементарный заряд), размер 10-15-10-14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10-10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между ядром и электро­ном сообщает электрону центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид:




где mе и v — масса и скорость электрона на орбите радиуса r, ε0. - электрическая
постоянная.

бесчисленное множество значений радиуса и соответствующих ему значений скорости (а

значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению. Поэтому величины r, v (следовательно, и Е) могут меняться непрерывно, т. е. может испускаться любая, а не вполне определенная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В действительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Из выражения (1.1) следует, что при r~10-10 м скорость движения электронов v~106 м/с, а ускорение v2/r=1022м/с2. Согласно классической электродинамике, уско­ренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и, в конце концов, упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что опять-таки противоречит действительности.
Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху: модель Томсона была опровергнута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электродинамически и противоречила опытным данным. Пре­одоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой — кванто­вой — теории атома.
§ 2. Линейчатый спектр атома водорода
Исследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров излучения отдель­ных атомов) показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома — атома водорода.Швейцарский ученый И. Бальмер (1825—1898) подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:




где R'=1,10*107 м-1 —постоянная Ридберга. Так как v=c/λ , то формула (2.1) может быть переписана для частот:

(2.1) и (2.2) вытекает, что спектральные линии, отличающиеся различными значениями

n, образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение n= определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр.
В дальнейшем (в начале XX в.) в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана:




В инфракрасной области спектра были также обнаружены:

серия Пашена

серия Брекета

серия Пфунда

серия Хэмфри

описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера:




где т имеет в

каждой данной серии постоянное значение, т= 1, 2, 3, 4, 5, 6 {определяет серию), n принимает целочисленные значения, начиная с m+1 (определяет отдельные линии этой серии).
Исследование более сложных спектров — спектров паров щелочных металлов (на­пример, Li, Na, К) — показало, что они представляются набором незакономерно расположенных линий. Ридбергу удалось разделить их на три серии, каждая из которых располагается подобно линиям бальмеровской серии. Приведенные выше сериальные формулы подобраны эмпирически и долгое время не имели теоретического обоснования, хотя и были подтверждены экспериментально с очень большой точностью. Приведенный выше вид сериальных формул, удивитель­ная повторяемость в них целых чисел, универсальность постоянной Ридберга свиде­тельствуют о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, вскрыть который в рамках классической физики оказалось невозможным.
§ 3. Постулаты Бора
Первая попытка построить качественно новую — квантовую — теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором (1885—1962). Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и погло­щения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

(не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает

энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию


me vn rn = n h / 2 п

где тe— масса электрона, vn — его скорость по n-й орбите радиуса rn.

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационар­ной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

h vnm= (En—Eт)

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Еn и Ет — соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При Ет<Еn происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удален­ной от ядра орбиты на более близлежащую), при Ет>Еn — его поглощение (переход
атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот v=(En—Eт)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

электронов с атомами газов (1913), Д. Франк и Г. Герц

экспериментально доказали дискретность значений энергии атомов. Принципиальная схема их установки приведена на рис. 1.




Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительно равно 13 Па), содержала катод (К), две сетки ( C1 и С2) и анод (А). Электроны, эмиттируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной между катодом и сеткой С1. Между сеткой С2 и анодом приложен небольшой (примерно 0,5 В) задерживающий потенциал.
Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударе­ний имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в об­ласти 3, достигают анода. При неупругих соударениях электронов с атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определенными порциями, равными разности энергий соответству­ющих стационарных состояний атома. Из опыта следует (рис. 2), что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В анодный ток возрастает монотонно, его значение проходит через максимум (4,86 В), затем резко уменьшается и возрастает вновь. Дальнейшие максимумы наблю­даются при 2 4,86 и 3 4,86 В. Ближайшим к основному, невозбужденному, состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ.

электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними

только упругие соударения. При eφ = 4,86 эВ энергия электрона становится достаточной, чтобы вызвать неупругий удар, при котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального энергетического состояния на возбужденный энергетический уровень. Электроны, потерявшие свою кинетическую энергию, уже не смогут преодолеть тормозящего поля и достигнуть анода. Этим и объясняется первое резкое падение анодного тока при eφ =4,86 эВ. При значениях энергии, кратных 4,86 эВ, электроны могут испытать с атомами ртути 2, 3, ... неуп­ругих соударения, потеряв при этом полностью свою энергию, и не достигнуть анода, т. е. должно наблюдаться резкое падение анодного тока. Это действительно наблюда­ется на опыте (рис. 2).

столкновении с атомами ртути передают атомам только определенные порции энергии,

причем 4,86 эВ — наименьшая возможная порция энергии (наименьший квант энергии), кото­рая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Следовательно, идея Бора о существовании в атомах стационарных состояний блестя­ще выдержала экспериментальную проверку.
Атомы ртути, получившие при соударении с электронами энергию ΔE, переходят в возбужденное состояние и должны возвратиться в основное, излучая при этом, согласно второму постулату Бора (см. (3.2)), световой квант с частотой v=ΔE/h. По известному значению ΔE =4,86 эВ можно вычислить длину волны излучения: λ=hc/ΔE ~ 255 нм. Таким образом, если теория верна, то атомы ртути, бомбардиру­емые электронами с энергией 4,86 эВ, должны являться источником ультрафиолетово­го излучения с λ ~ 255 нм. Опыт действительно обнаруживает одну ультрафиолетовую линию с λ ~ 254 нм. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили не только первый, но и второй постулат Бора. Эти опыты сыграли огромное значение в развитии атомной физики.
§ 5. Спектр атома водорода по Бору
Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем — систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы Не+, Li2+), а также теоретически вычислить постоянную Ридберга.
Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, огра­ничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (1.1) , mev2/r=Ze2/(4πε0r2), предложенное Резерфордом, и уравнение (3.1), получим выраже­ние для радиуса n-й стационарной орбиты:




где n=1, 2, 3... .Из выражения (5.1) следует, что радиусы орбит растут пропорци­онально квадратам целых чисел.

n=1, называемый первым боровским радиусом (а), равен




что соответствует расчетам

на основании кинетической теории газов. Так как радиусы стационарных орбит измерить невозможно, то для проверки теории необходимо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экспериментально. Такой величиной является энергия, излучаемая и поглощаемая атомами водорода.
Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из его кине­тической энергии (mev2/2) и потенциальной энергии в электростатическом поле ядра (-Ze2/(4πε0r)):






(учли, что см. (1.1)). Учитывая квантованные для радиуса n-й

стационарной орбиты значения (5.1), получим, что энергия электрона может прини­мать только следующие дозволенные дискретные значения:

формулы (5.3) следует, что энергетические состояния атома образуют после­довательность энергетических

уровней, изменяющихся в зависимости от значения л. Целое число л в выражении (5.3), определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n=1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n> 1 являются возбужденными. Энер­гетический уровень, соответствующий основному состоянию атома, называется основ­ным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются возбужденными.
Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома водорода (Z=l), согласно формуле (5.3), возможные уровни энергии, схематически представ­ленные на рис. 3. Энергия атома водорода с увеличением n возрастает и энергетичес­кие уровни сближаются к границе, соответствующей значению n =∞ . Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энергией (Е1 = —13,55 эВ) при n=1 и мак­симальной ( ) при n= ∞ .Следовательно,значение соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Согласно второму постулату Бора (см. (3.2)), при переходе атома водорода (Z= 1) из стационарного состояния л в стационарное состоя­ние т с меньшей энергией испускается квант




откуда частота излучения




гдe R=mee4/(8h3ε02).

совпадающую с экспериментальным значением посто­янной Ридберга в эмпирических формулах для

атома водорода (см. § 2). Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы (5.3) для энергетических уровней водородоподобной системы.
Подставляя, например, в формулу (5.4) т=1 и n=2, 3, 4, ..., получим группу линий, образующих серию Лаймана (см. § 2) и соответствующих переходам электро­нов с возбужденных уровней (n=2, 3, 4, ...) на основной (m=1). Аналогично, при подстановке т=2, 3, 4, 5, 6 и соответствующих им значений л получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (часть из них схематически представлена на рис. 3), описанные в § 2.

серии соответствуют излучению, возника­ющему в результате перехода атома в данное

состояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного. Спектр поглощения атома водорода является линейчатым, но содержит при нормальных условиях только серию Лаймана. Он также объясняется теорией Бора. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном состоянии (стационарное состояние с наименьшей энергией при n=1), то при сообщении атомам извне опреде­ленной энергии могут наблюдаться лишь переходы атомов из основного состояния в возбужденные (возникает серия Лаймана). Теория Бора была крупным шагом в развитии атомной физики и явилась важным этапом в создании квантовой механики. Однако эта теория обладает внутренними противоречиями (с одной стороны, применяет законы классической физики, а с дру­гой — основывается на квантовых постулатах). В теории Бора рассмотрены спектры атома водорода и водородоподобных систем и вычислены частоты спектральных линий, однако эта теория не смогла объяснить интенсивности спектральных линий и ответить на вопрос: почему совершаются те или иные переходы? Серьезным недо­статком теории Бора была невозможность описания с ее помощью спектра атома гелия — одного из простейших атомов, посредственно следующего за атомом водорода.

атома водорода (серии Лаймана). [Emax=13,2 эВ, Emin=10,2 эВ]
2.Определить длину волны,

соответствующую границе серии Бальмера. [364 нм]
3.Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движуще­гося по второй орбите атома водорода.[pm=enħ/(2m)=1,8*10-23 A*м2]
4.Используя теорию Бора, определить изменение орбитального механического момента
электрона при переходе его из возбужденного состояния (n = 2) в основное с испусканием фотона с
длиной волны λ=1.212*10-7 м. [ΔL=ħ=1,05*10-34 Дж*с]
5.Определить потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В]
6.Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Ei= 13.6 эВ, определить
второй потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В]
7.Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Ei = 13,6 эВ, определить
в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии
Лаймана. [10,2 эВ]

МОСКВА

РИМ