Вычисления площадей геометрических фигур. Метод Монте-Карло.

учитель информатики МОУ гимназии№3 им. А.Н.Островского г. Кинешма, Ивановской обл.

вероятностных моделей;
Задачи:
Научиться вычислять площади нестандартных фигур используя среду программирования Pascal

и электронные таблицы Excel;
уметь записывать предикат для фигуры, площадь которой необходимо найти
Сравнить полученные результаты;

площадь(обычно квадрат или прямоугольник).
Равномерно разбрасываем N точек со случайными

координатами, которые попадают в данный квадрат(прямоугольник).
Подсчитываем количество точек, попавших на фигуру: M (записать предикат для точек с координатами (x, y), которые лежат внутри фигуры).

Вычисляем площадь:


Чем больше число испытаний N, тем величина


будет все ближе к точному значению площади фигуры.

Метод Монте-Карло

линейная функция;
y >= –x+12 – нижняя правая граница, линейная функция;
(x-4)2+(y-8)2

– верхняя граница, окружность.
Точка с координатами (x, y) лежит в заштрихованной области, если она принадлежит 1-й или 2-й части и 3-й.
Искомый предикат имеет вид:
F(x, y) = ((y >= 3x-4 )  (y >= –x+12 )) &
((x-4)2+(y-8)2<=9 ).

Решение задачи

можно получать равномерно распределенные случайные числа в диапазоне от 0

до 1. Для получения значений x и y в нужном нам диапазоне следует вводить формулы:
для x: =Xmin+(Xmax-Xmin)*СЛЧИС().
( в нашем случае Xmin=1, Xmax=7)
для y: =Ymin+(Ymax-Ymin)*СЛЧИС().
( в нашем случае Ymin=7, Ymax=11)

подсчитать, использовать функцию ЕСЛИ. Если координаты x и y таковы,

что одновременно ((y >= 3x-4 ) или(y >= –x+12 )) и
((x-4)2+(y-8)2<=9 ), тогда функция будет возвращать 1, иначе 0. Тогда число m в формуле для вычисления площади фигуры определится как сумма всех значений, возвращаемых функцией ЕСЛИ, а число n равно числу испытаний, которое можно подсчитать с помощью функции СЧЕТ.

Решение задачи в Excel

строк, например 100. Так будет выглядеть электронная таблица в режиме

отображения формул:

высокое качество статистических оценок только при весьма большом числе испытаний,

которое невозможно выполнить без помощи компьютера
Табличные процессоры не очень удобны для проведения расчетов Монте-Карло(много времени занимает копирование формул для большого количества случайных точек), однако с их использованием можно достаточно просто проиллюстрировать основные особенности этого метода

Выводы:

Москва, «Просвещение», 1993г;
3. Ермаков С.М. «Методы Монте-Карло и смежные вопросы»,

Москва, Наука, 1971г;
4. Математика. Большой Энциклопедический Словарь гл. редактор Ю.В.Прохоров, Москва, Большая Российская Энциклопедия

Источники информации: