Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом

из аксиом."

- (греч.) – «землемерие»
- Что такое планиметрия?
Планиметрия – раздел геометрии,

А

а

Основные понятия планиметрии:

точка

прямая

- Основные понятия планиметрии?

пространстве

прямая

α

β

Обозначение: А; В; С; …; М;…

а

А

В

М

N

Р

Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими)

Обозначение: α, β, γ…

Ответьте на вопросы по рисунку:
1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β

на этих рисунках:
Назовите предметы из окружающей вас обстановки

линией, невидимые – пунктиром).

2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
А
В
С
Д
Д1
С1
В1
А1
3.

фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются

Аксиомы планиметрии:
- через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
α

на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец

плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой

Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

и плоскость?

то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие

А

а

прямые РЕ, МК, ДВ, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой

а) точки, лежащие в плоскостях ДСС1 и ВQС

точку проходит плоскость и притом только одна.
Дано:
а, М ¢

Доказать:

(а, М) с α

α- единственная

а

М

α

Доказательство :

1. Р, О с а; {Р,О,М} ¢ а

Р

О

По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .

По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α

2. Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д.

Некоторые следствия из аксиом:

притом только одна.
Дано:
а∩b
Доказать:
1. (а∩b) с α
2. α- единственная
а
b
М

Н
α
Доказательство:
1.Через а

отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
Доказательство:
1. (А,В,С)

2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α.

3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α

1 случай.

А

В

С

α

2 случай.

Доказательство:

Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

– точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А,

Определить и обосновать:
Лежат ли в плоскости α точки В и С?
Лежит ли в плоскости МОВ точка Д?
Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО.
Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60º. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

· АС):2
Формулы для вычисления площади ромба:
∆АВД = ∆ВСД (по

фигуры в пространстве.
Сформулируйте аксиому А2.
Сформулируйте аксиому А3.
Могут ли прямая и

1 вариант

2 вариант

Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости?
Назовите основные фигуры на плоскости.
Сформулируйте аксиому А1.
Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
Сколько может быть точек у прямой и плоскости?
Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?

точек, которые не лежат в плоскости α;
Несколько прямых, которые лежат

не лежат в одной плоскости
Лежат ли прямые АА1, АВ, АД

лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре

а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.

б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС

О

г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС

плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника,

Доказательство:

1. (АС ∩ ВД) =α АС α, ВД α, (А, В, С, Д ) α

2. SАВСД = АС · ВД · sin90º = 10 · 12 = 120 (см2)

Ответ: 120 см2

построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?
Вычислите длину отрезков АР

Р

К

в плоскости SАВ; б)плоскость, в которой лежит прямая МN; в)

2 уровень

S

А

В

С

Д

Е

F

1. Пользуясь данным рисунком назовите: а) две плоскости, содержащие прямую ДЕ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости АЕF и SВС; в) плоскости, которые пересекает прямая SВ.
2. Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
3. Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость . Каково взаимное расположение прямых а и с?

плоскости, содержащие прямую В1С; б) прямую, по которой пересекаются плоскости

2. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
3. Вершина С плоского четырехугольника АВСД лежит в плоскости , а а точки А, В, Д не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АД пересекают плоскость в точках В1 иД1 соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В1 и Д1 ? Ответ объясните.

в точке О, А а, В

А

В

С

Д

М