Арифметическая прогрессия

Как называется такой способ задания последовательности?

Найдите первые четыре члена

этой последовательности.

Рекуррентный способ.

а1=2
а2=3а1+1=7
а3=3а2+1=22
а4=3а3+1 =67

«движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).

Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Севери́н (ок.480 — 524 (526)), один из наиболее авторитетных государственных

деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог.
Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.

Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

5, 2, -1, ….

5, 5, 5, 5, 5, ….


22, 26
-4,

-7

5, 5

второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

(an) - арифметическая прогрессия,
если an+1 = an+d ,
где d-некоторое число.

арифметической прогрессии
Число d, показывающее, на сколько следующий

член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.

d=an+1-an

5, 2, -1, ….
5, 5, 5,

5, 5, ….

Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

d=4, an+1>an

d=-3, an+1

d=0, an+1=an

в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами

угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

a1=50, d=3
1 числа: 50 т
2 числа: +1 машина (+3 т)
3 числа: +2 машины(+3·2 т)
………………………………………
30 числа:+29 машин(+3·29 т)
a30=a1+29d
a30=137

……………………..
an=an-1+d=a1+(n-1)d

an=a1+d (n-1)

Воспользуемся формулой n-ого члена
а81=а1+d(81-1),

а81=20+3·80,
а81=260.
Ответ: 260.

тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
an-an-1=an+1-an,
2an=an-1+an+1,

an=(an-1+an+1):2

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов!

d=-1,5.

Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена
а21=а1+d(21-1),

а21=5,8+(-1,5)·20,
а21=-24,2.
Ответ: -24,2.

k и b – некоторые числа.
an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d)

Последовательность(an), заданная формулой

вида
an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.
an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

арифметической прогрессии an+1=an+d
Разность прогрессии

d=an+1-an
Формула n-ого члена an=a1+d(n-1)

Характеристическое свойство