Действительные числа

СОШ № 457 Ж.Ю. Магаз


Санкт-Петербург
2010

множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение

и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются

0 (ноль),
2) число (-n), противоположное натуральному n.
При этом

полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0,
-(-n)=n.
Тогда множество целых чисел можно записать так:
Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}.
Заметим также, что:
Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е.





Из множества целых чисел выделим два подмножества:
1) множество четных чисел
2) множество несетных чисел

множестве целых чисел не выполняется, но известно, что деление с

остатком можно выполнить всегда, кроме деления на 0.


Определение деления с остатком.
Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q и p, такие что: (*)




Хорошо известен алгоритм деления с остатком.
Замечание: если r=0, то будем говорить, что m делится нацело на n.

m=nq+r, где 0≤ r<|n|
(q – частное, r – остаток)

190 3

18 6
3
10
9
1
q=63, r=1, 1<3
Проверка:
190=3*63+1

2). m=13, n=5
Подберем q и формуле (*):
13=5q+r
=>q=2, r=3 (3<5)
13=4*(-4)+1

3). m=-15, n=4
По формуле (*):
-15=4q+r
=> q=-4, r=1
-15=4*(-4)+1

4). M=6, n=13
По формуле(*):
6=13q+r
=>q=0, r=6
6=13*0+6

В частности, Таким образом,



Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).

треугольника с катетам

.

По теореме Пифагора гипотенуза будет равна .Но число не будет
рациональным, так как ни для каких m и n.

Нельзя решить уравнение .
Нельзя измерить длину окружности и т.д.

Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

иррациональными.
Множество иррациональных чисел обозначим

Для иррациональных чисел нет единой

формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.

равная числу

d

с общим членом последовательности то с

ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.

чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были

близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.



Примеры иррациональных чисел:

(золотое сечение) и т.д.

рациональных чисел.







Вывод:

(см. рис. 1)

имеет координату а. Расстояние от точки начала отсчета О до

точки А называется модулем вещественного числа а и обозначается |a|.





2) Раскрытие модуля происходит по правилу:

|a| = |OA|

Определение модуля можно расширить:




Пример. Раскрыть знак модуля.

Вычислить


Пример 2. Раскрыть знак модуля


Пример 3.
Вычислить 1)

2)

3)