Дифференциальные уравнения второго порядка

y’’ = f(x,y,y’).

y = ϕ(x,C’,C’’),

Общее решение

где С’,С’’ - независимые постоянные,

Тогда начальные условия: у = у0
y/(х = х0) = y/0
tg α0 = y/0

Вообще через каждую точку
М0(х0,у0) плоскости Оху
проходит пучок интегральных
кривых.
Поэтому нужно не только
выбрать кривую,
но еще и указать ее направление.

y’’ + p⋅y’ + q⋅y

= 0. (2.8)
где p, q - постоянные коэффициенты.
Будем искать частное решение в форме

Линейные однородные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

k = Const и ее нужно определить.

и саму функцию у заменить на соответствующие степени k.

k2. Следовательно, уравнение допускает
два различных частных решения
если k1≠k2, то

эти решения будут
линейно независимы.

можно подобрать
постоянные числа а1 и а2, неравные
одновременно нулю,

такие, что линейная
комбинация этих функций тождественно равна нулю,
то есть а1⋅у1 + а2⋅у2 ≡ 0.
В противном случае
(то есть если таких чисел подобрать нельзя)
у1 и у2 называются линейно независимыми.
Тогда общее решение данного уравнения
есть линейная комбинация этих частных решений

частное решение будет одно
Всякое другое частное решение у2, линейно независимое

с у1, обязательно должно иметь вид
у2 = у1⋅z(x),

где z(x) - некоторая функция,
не являющаяся константой

где a и b - произвольные константы. И, следовательно,
Если

нам нужно только частное решение,
то можно принять а=1,b=0 и тогда

То есть общее решение уравнения во втором случае имеет вид

.
3.

и
.

.

k1 = α + i⋅β и k2 = α - i⋅β, где

Таким образом, общее решение имеет вид

Пусть дано дифференциальное уравнение

y’’ + p⋅y’ + q⋅y = 0

1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни k1, k2 такие, что k1 ≠ k2, то все решения имеют вид

2. Если характеристическое уравнение имеет равные действительные корни k=k1=k2, то решение имеет вид

3. Если характеристическое уравнение имеет
мнимые корни k1,2 = α ± i⋅β, (β ≠ 0), то