Функции нескольких переменных

Содержание

1. Функции нескольких переменных
2. Литература Основная литература: Л. Д.
3. Дополнительная литература: Кудрявцев В.
4. Учебно-методические разработки: Л. Я.
5. СодержаниеФункции нескольких переменныхДифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядковКратные интегралыЧисловые рядыСтепенные рядыРяды Фурье
6. Функции нескольких переменныхЛекция 1
7. Определение функции двух переменных Определение. Если
8. Обозначения При этом пишут: Если
9. График функции 2-х переменных Геометрическое место
10. График функции Функцию двух переменных можно
11. Предел функции 2-х переменных Окрестностью радиуса
12. Предел функции 2-х переменных Таким образом, окрестностью точки является множество точек, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ.оху
13. Определение предела функции 2-х переменных Число
14. Непрерывность Функция z=f(x,y) называется непрерывной в
15. Непрерывность Другое определение: Функция z=f(x,y)
16. Внутренние и граничные точки Линию, ограничивающую
17. Открытая и замкнутая области Область, состоящую
18. Ограниченная область Область называют ограниченной, если
19. Наибольшее и наименьшее значения функции Теорема
20. Частные приращения функции 2-х переменных Разность
21. Частные производные Определение. Если существует
22. Продолжение Аналогично определяется частная производная по
23. Производные высших порядков Частной производной n-го
24. Равенство смешанных производных Теорема. Две смешанные частные
25. Скачать презентанцию

Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2 Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное

Главная
Математика
Функции нескольких переменных

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Математический анализ
Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Слайд 2Литература
Основная литература:
Л. Д. Кудрявцев. Курс математического

анализа, т. 1, 2
Г. Н. Берман. Сборник задач

по курсу математического анализа.
Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2.

Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2 Г. Н.

Слайд 3
Дополнительная литература:
Кудрявцев В. А., Демидович Б.

П. Краткий курс высшей математики
Данко П.Е., Попов А.Г.,

Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. 1, 2.

Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики Данко

Слайд 4
Учебно-методические разработки:
Л. Я. Дубинина, Л. С.

Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч.

1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001.
Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по

Слайд 5Содержание
Функции нескольких переменных
Дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядков
Кратные

интегралы
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье

СодержаниеФункции нескольких переменныхДифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядковКратные интегралыЧисловые рядыСтепенные рядыРяды Фурье

Слайд 6Функции нескольких переменных
Лекция 1

Слайд 7Определение функции двух переменных
Определение. Если каждой паре (x,y)

значений двух независимых друг от друга переменных величин x и

y из некоторого множества D соответствует единственное значение величины z, а каждому z соответствует хотя бы одна пара (x,y), то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в D.

Определение функции двух переменных Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных

Слайд 8Обозначения
При этом пишут:

Если паре

соответствует число

, то пишут
Или

называется частным значением функции при

Слайд 9График функции 2-х переменных
Геометрическое место точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

График функции 2-х переменных Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции

Слайд 10График функции
Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой

паре (x, y)∈D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая

графику функции и являющаяся концом перпендикуляра PM к плоскости Oxy.

График функции Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x, y)∈D ставится в соответствие точка

Слайд 11Предел функции 2-х переменных
Окрестностью радиуса R точки

называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса R с

центром в точке , кроме самой точки.

Предел функции 2-х переменных Окрестностью радиуса R точки называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга

Слайд 12Предел функции 2-х переменных
Таким образом, окрестностью точки является

множество точек,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ

.
о
х
у

Слайд 13Определение предела функции 2-х переменных
Число А называется пределом

функции z=f(x,y) при

, если для любого числа найдется такое число R>0, что для всех точек М(х,у), лежащих в окрестности радиуса R точки , выполняется условие

При этом пишут: или

Слайд 14Непрерывность
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке

, если выполнены условия:
1)функция

определена в точке ,
2)если существует ,
3)если

Непрерывность Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполнены условия:

Слайд 15Непрерывность
Другое определение: Функция z=f(x,y)
называется непрерывной в

точке , если в этой точке бесконечно малому

приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

где .

Непрерывность Другое определение: Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если в этой

Слайд 16Внутренние и граничные точки
Линию, ограничивающую некоторую область D

в плоскости Oxy, мы будем называть границей этой области.

Точки области, не лежащие на границе области, мы будем называть внутренними точками области, если они принадлежат области вместе со своей окрестностью.

Теорема. Если функция f (x, y)

μ .

Внутренние и граничные точки Линию, ограничивающую некоторую область D в плоскости Oxy, мы будем называть границей

Слайд 17Открытая и замкнутая области
Область, состоящую из одних внутренних

точек, мы будем называть открытой или незамкнутой.
Если же

к области относятся еще и точки границы, то область называют замкнутой.

Открытая и замкнутая области Область, состоящую из одних внутренних точек, мы будем называть открытой или незамкнутой.

Слайд 18Ограниченная область
Область называют ограниченной, если существует такое постоянное

C>0, что расстояние любой точки M области от начала координат

O меньше C, т.е. .

Ограниченная область Область называют ограниченной, если существует такое постоянное C>0, что расстояние любой точки M области

Слайд 19Наибольшее и наименьшее значения функции
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная

функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере

один раз наибольшего значения M и наименьшего значения m.

Наибольшее и наименьшее значения функции Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по

Слайд 20Частные приращения функции 2-х переменных
Разность

= f (x+Δx, y) – f (x,

y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной x.
Разность = f (x, y+Δy) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной y.

Частные приращения функции 2-х переменных Разность = f (x+Δx, y)

Слайд 21Частные производные
Определение. Если существует

= ,

то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается

Слайд 22Продолжение
Аналогично определяется частная производная по переменной y:

=

Эту производную обозначают

Слайд 23Производные высших порядков
Частной производной n-го порядка функции нескольких

переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n-1)-го

порядка той же функции. Например, для функции 2-х переменных имеем:

Производные высших порядков Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от

Слайд 24Равенство смешанных производных
Теорема. Две смешанные частные производные одной и

той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой

при условии их непрерывности.
Так, ,

Равенство смешанных производных Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования,

Скачать презентацию

Теги

Разделы презентаций

Функции нескольких переменных

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Математический анализСоставитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Слайд 2Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического

анализа, т. 1, 2 Г. Н. Берман. Сборник задач

Слайд 3 Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б.

П. Краткий курс высшей математики Данко П.Е., Попов А.Г.,

Слайд 4 Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С.

Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч.

Слайд 5СодержаниеФункции нескольких переменныхДифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядковКратные

интегралыЧисловые рядыСтепенные рядыРяды Фурье

Слайд 6Функции нескольких переменныхЛекция 1

Слайд 7Определение функции двух переменных Определение. Если каждой паре (x,y)

значений двух независимых друг от друга переменных величин x и

Слайд 8Обозначения При этом пишут: Если паре

соответствует число

Слайд 9График функции 2-х переменных Геометрическое место точек, координаты которых

удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

Слайд 10График функции Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой

паре (x, y)∈D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая

Слайд 11Предел функции 2-х переменных Окрестностью радиуса R точки

называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса R с

Слайд 12Предел функции 2-х переменных Таким образом, окрестностью точки является

множество точек, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ.оху

Слайд 13Определение предела функции 2-х переменных Число А называется пределом