Иррациональные числа

рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде

дроби m/n , где m — целое число, n — натуральное число.
Множество иррациональных чисел(I) обычно обозначается таким образом: I=R/Q — множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

http://gorinalw.3dn.ru/sprav/8klasse-algebra/Koll-sistematika.doc

веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до

н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.
Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашел это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы.

о ее существовании приводит к противоречию. Он показал, что если

гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:
Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a^2 = 2b^2.
Так как a^2 четное, a должно быть четным (так квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y.
Тогда a^2 = 4y^2 = 2b^2.
b^2 = 2y^2, следовательно b^2 четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.
Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьезную проблему, разрушив предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы, лежавшее в основе всей теории.

естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но

остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17.
Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объемы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова).

этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными

дробями.
Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
Каждое трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории

константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается

буквой греческого алфавита «пи».

http://www.sensator.ru/images/0000/c/o/content/photo/2007/1/1169734700.26545_5326911.jpg

быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транцендентность числа π

была доказана в 1882 году профессором Кенигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

http://moikompas.ru/img/compas/2008-07-05/irrational_number_pi/29424127.jpg

в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда

Эйлера в 1737 году.Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

http://www.horoshienovosti.com.ua/images/slon/21_11.jpg

он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники.

Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку .

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg/200px-Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg

Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ.) с любой

степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Thumbnails/Liu_Hui.jpg

приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того

факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

http://thenews.kz/static/news/b/c/bcpIUb4T.jpg

являются ли числа π + e, π − e, πe,

π / e, πe, ππ трансцендентными.
До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

Плуфф открыли способ (англ.) быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа

π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

и шесть. Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто

два и шесть. Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, два, шесть, пять, три, пять. Чтоб наукой заниматься, Это каждый должен знать. Можно просто постараться И почаще повторять: «Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, двадцать шесть и пять».

Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учёта знаков препинания) и запишите эти цифры подряд — не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи:
Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны. Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъ знаетъ! Вот и Миша и Анюта прибежали Пи узнать число они желали.

http://im5-tub.yandex.net/i?id=11258320-03

четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять Восемь девять, семь

и девять, три два, три восемь, сорок шесть Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует

приближённому значению числа π. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле

http://img11.nnm.ru/c/f/d/2/5/97d0bdb2780f8e951969da99b1c_prev.jpg

которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day),

так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.

http://uchitel56.rusedu.net/gallery/1409/chislo_Pi.jpg

наук, профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд, запомнив 30 миллионов

знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста. С установлением нового рекорда Андрея Слюсарчука официально поздравил президент Украины Виктор Андреевич Ющенко. Поскольку устное перечисление 30 млн цифр π со скоростью одна цифра в секунду заняло бы почти год (347 дней) при непрерывном перечислении 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, то был применён следующий подход для проверки рекорда: во время демонстраций Слюсарчука просят назвать произвольно выбранные проверяющими последовательности цифр числа Пи, расположенные на произвольно выбранных местах произвольных страниц 20-томной распечатки, группированной в упорядоченные таблицы. Он многократно успешно проходит этот тест.

второго кольца!!! Удачи!!! ☺ ☺

http://s41.radikal.ru/i094/0811/7d/5ba48b5a68fc.jpg

— математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число

e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Численное значениe
е= 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…

http://www.expert.ru/images/russian_reporter/2008/19/rep_49_064_1.jpg

единственное число a, для которого выполняется

Как единственное положительное число a,

для которого верно

роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального

уравнения является функция , где c — произвольная константа.

http://image.newsru.com/pict/id/large/1107811_1224161687.gif

как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873

году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

следующим образом:

то есть

автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это

название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен

Константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

запоминания), мнемоте́хника — совокупность специальных приёмов и способов, облегчающих запоминание

нужной информации и увеличивающих объём памяти путём образования ассоциаций (связей). Замена абстрактных объектов и фактов на понятия и представления, имеющие визуальное, аудиальное или кинестетическое представление, связывание объектов с уже имеющейся информацией в памяти различных типов для упрощения запоминания.
Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака)
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.

Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90

и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
Числа 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»

о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281

828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.