Классификация и свойства правильных многогранников

Зинченко Вадим 10б

пространстве. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичичный коробок, книга, комната,

многоэтажный дом, граненый карандаш, гайка. С чисто геометрической точки зрения многогранник - это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками - гранями. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. На многогранную поверхность обычно накладывают следующие ограничения:1) каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными;
2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;
3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.
Многогранник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это условие эквивалентно каждому из двух других: 1) отрезок с концами в любых двух точках многогранника целиком лежит в многограннике, 2) многогранник можно представить как пересечение нескольких полупространств.
Самые простые многогранники - четырехвершинники или четырехгранники - всегда ограничены четырьмя треугольными гранями. Но уже пятигранники могут быть совершенно разных типов. Как и многоугольники, многогранники характеризуются также по степени их симметричности. Среди пирамид выделяют правильные: в основании у них лежит правильный многоугольник, а высота-перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания, - попадает в центр основания пирамиды.

свойство плоских углов многогранного угла.
Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранника

угла меньше 4d (3600).
а) Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. L = 600.
Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то
600 n < 3600 ,
n < 6,
n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

n – гранных углов n 900< 3600,
n 4,
n =

3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб.

в) Пусть грани - правильные пятиугольники
L = 1800 (5 – 2) : 5 = 36 0*3 = 1080, n*1080 <3600
n*1080< 3600  =   n = 3 - додекаэдр.
г) У правильного шестиугольника внутренние углы:
L = 1800 * (6 – 2 ) : 6 = 300 * 4 = 1200
В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

– 1783 гг.), поэтому формула названа его именем. Этот гениальный

ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало с его работ,

Все эти примеры являются выводом теоремы Эйлера

- число его рёбер и Г - число граней. Тогда

верно равенство В-Р+Г=2.

Число X =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270

градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
 

вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна

324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер

вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов каждой при вершине равна

180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.
 

вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна

240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.
 

вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна

300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.