Математическая логика

слайду
Подчёркнутое слово
Гиперссылка

- Высказывания
Алгебра логики
- Действия над высказываниями

- Приоритет выполнения операций
- Законы алгебры логики
Примеры решения задач
Предикаты
Заключение

мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда не знаем, как прийти

к выводу из предпосылок и получить истинное знание о предмете размышления. Логика служит одним из инструментов почти любой науки. Пример тому школьный курс математики.

наука, изучающая законы и формы мышления.

(384-322 г.г до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения,

и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

Реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

или ложно.
Обычно высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами, а само

предложение заключается в фигурные скобки.

Понятие высказывания является исходным понятием математической логики.

в скобках
1
1
2
3
4
5
5. Импликация, эквиваленция, строгая дизъюнкция
4. Дизъюнкция
3. Конъюнкция
2. Отрицание

)
А ∧ В ∧ С
(

)

Дистрибутивность

А

В

∧

А ν В ∧ С

( )

А

ν

( )

А ∧ В ν С

( )

А

∧

( )

Законы де Моргана

А

В

ν

∧

А

В

ν

∧

логики
1. А = А
2. А ν А = А
3. А

∧ А = А
4. А ν А = I
5. A ν (A ν A) = I

6. A ∧ (A ∧ A) = A
7. L = I
8. A ν L = A
9. A ∧ L = A
10. A ∧ A = L

I – тождественно-истинное высказывание L – тождественно-ложное высказывание

А истинно и В истинно, когда А ложно.

лишь в том случае, если оба высказывания А и В

ложные.

АνВ ≡ {Луна - спутник Земли или
Солнце - спутник Земли}

A ≡{Луна - спутник Земли}

В ≡{Солнце- спутник Земли }

лишь в том случае, когда высказывание А – истинное и

В – ложное.

A ≡ {Лето жаркое},
B ≡ {Зима будет холодной}

А→В ≡ {Eсли лето жаркое, то зима будет холодной.}

истинное лишь в том случае, если оба высказывания А и

В истинные.

A ≡{Наталья учится в
11 а классе}

В ≡{Людмила учится в
11 а классе}

А∧В ≡ {Наталья и Людмила учатся вместе в 11 а классе}

когда А и В – оба истинные или оба ложные

высказывания.

A ≡{Убийство раскрыто},
B ≡{Есть свидетели}

Для того чтобы раскрыть убийство необходимо и достаточно найти свидетелей.

истинное лишь в случаях, когда А – истинное и В

– ложное высказывание или А – ложное и В – истинное высказывание.

А ≡ {Сейчас Ксюша в Москве}

В ≡ {Сейчас Ксюша в Лондоне}

А ⊕ В ≡ {Сейчас Ксюша в Москве или Лондоне}

должен находиться на судне всегда, за исключением случаев, когда с

судна выгружают груз, если же груз не выгружают, то рулевой никогда не отсутствует, если не отсутствую и я. В каких случаях рулевой обязан присутствовать на судне?

Вы готовы дети?

В≡{С судна выгружают груз},

С≡{Рулевой присутствует на судне}, тогда
(В → А) и (B→ (A→C)) – истинные высказывания.
Конъюнкция истинных высказываний истинна, т.е.
(B→A)∧(B→ (A→C))=(BvA)(B→(AvС))= (BvA)(Bv (AvС))= BvA(AvС)= BvLvAC= BvAC= B→AC.

Проанализировав полученное, выяснили, что рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз.
Ответ: рулевой присутствует на судне,
если с судна не выгружают груз.

в верное высказывание при конкретном значении переменной, называется неопределенным высказыванием

или предикатом.

A(х) ≡ {d=x+34}

d

таких значений х, при которых высказывание Р(х) истинно.
-города Российской

Федерации.

A ≡{Город Х находится в Российской Федерации}

для высказываний, а именно:
Конъюнкция
Дизъюнкция

Импликация
Эквиваленция и др.

ПРЕДИКАТЫ

является навешивание кванторов. Для этого перед предикатом пишут кванторы –

слова, описывающие его множество истинности.

А

Е

Квантор
существования

Квантор всеобщности

обозначающий единственное существование и читается как «существует» или «для некоторого».

Из

предиката {Ученик X Лицея №1 сдал ЕГЭ по математике на 100 баллов } получаются высказывание:

{Найдется такой ученик Лицея №1, который сдаст ЕГЭ по математике на 100 баллов}

обозначающий всеобщность и читается как «для любого» или «для всех».

Из предиката {Ученик X Лицея №1 сдал ЕГЭ по математике на 100 баллов } получаются высказывание:

{Все ученики Лицея №1 сдали ЕГЭ по математике на 100 баллов}

выполнять операции с высказываниями, определенными и неопределёнными.
Надеемся, эта презентация поможет

Вам окунуться в мир логики и абстрактного мышления.

руководством учителя математики
Мигунова Фёдора Юрьевича