Математические чудеса и тайны

ученик 6 класса.

Руководитель: Комаров Владимир Михайлович, учитель математики.

Консультант: Комарова Надежда

Моисеевна, учитель математики, заместитель директора школы по учебно-воспитательной работе, Заслуженный Учитель РФ.




Аддис- Абеба
2009

Математические чудеса и тайны

решения
4. Используемая литература
Эфиопия

человек: мама, папа, я и мои братья Гриша, Захар и

Макар. Сколько получится различных фотографий, если мы встанем в один ряд и будем меняться местами?
А сколько будет фотографий, если мама возьмет Макара на руки? Сколько времени займет фотографирование, если мы будем перестраиваться за 1 секунду?

Эфиопия

Моя семья

обмениваемся рукопожатиями. Сколько будет подарков? А сколько рукопожатий?
Сколько хороводов?

Мы водим хоровод вокруг елки. Сколько различных «хороводов» можно составить из членов нашей семьи? А сколько получится «хороводов», если каждый окажется рядом с остальными только один раз? Возможно ли это?

С Новым годом!

четыре года, Захар в четыре раза старше Макара и на

три года младше Гриши. Сколько лет каждому из нас, если вместе нам 23 года?

Эфиопия

Эфиопия

Гриша, Захар, Макар и Никита

трехколесные велосипеды. Сколько двухколесных и сколько трехколесных велосипедов, если у

них 7 рулей и 18 колес?

Эфиопия. Наш дом

Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц.
Торговцы его спросили:

«Много ли у тебя в том лукошке
яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню, перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне сколько в том лукошке яиц было»?

Сколько яиц в лукошке?

− она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных

весах без гирь можно определить фальшивую монету?

Задача 3.
Имеется 10 мешков с монетами, в девяти из них настоящие монеты по 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты по 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как одним взвешиванием обнаружить мешок с фальшивыми монетами?

через реку
волка, козу и капусту. Лодка так мала, что

в
ней, кроме крестьянина, может поместиться
только один волк, или только одна коза, или
только капуста. Как ему поступить, чтобы во
время переправы волк не съел козу, а коза
не съела капусту? Считается, что в присутствии
крестьянина волк не съест козу, а коза не съест
капусту.

Эфиопия

Задача 5.
Некий путешественник в ожидании денежного
перевода должен был на неделю поселиться в гостинице. Он договорился с хозяином, что заплатит ему за постой серебряной цепочкой из семи звеньев. Хозяин был большим любителем головоломок, и поставил условие: за каждый день постоялец должен платить ровно по одному звену, разрезав при этом не более одного звена цепочки. Как путешественник расплачивался с хозяином гостиницы?

цветных сундука, стоящих у стены:
в один − драгоценные камни, в

другой − золотые монеты, а в третий − магические
книги. Он помнит, что:
− красный сундук правее, чем драгоценные камни;
− магические книги правее, чем красный сундук;
− зеленый сундук стоит левее, чем синий.
В каком сундуке магические книги?

Задача 7.
Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было
черное платье, на другой − красное, на третьей − белое. Девочка в белом платье
говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платьев не соответствует фамилиям».
Кто в какое платье был одет?

Эфиопия

С. Бочка А наполнена квасом,
бочки В и С − пустые.

Если квасом из бочки А наполнить
бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же
квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется
5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо
взять содержимое бочки А и добавить еще 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Задача 9
Из ведра, содержащего 5 литров воды,
отливают 1 литр, а затем в ведро вливают
1 литр сока. Перемешав все это, из ведра
отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять
вливают 1 литр сока. Опять перемешивают,
отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.
Сколько в ведре останется после этого воды?

Эфиопия

слева на фото может занять любой из шести членов семьи,

второе место −
любой из пяти остальных, таким образом, существует 6·5 = 30 возможностей занять
первое и второе места. Чтобы оказаться на третьем месте − 4 возможности и так далее.
Всего фотографий 6·5·4·3·2·1 = 720;
б) 5·4·3·2·1 = 120; в) 720с = 2часа.

Сколько подарков?

Каждый из шестерых делает подарок пятерым. Всего 30 подарков. Рукопожатий − 15.

Сколько хороводов?

а) 720; б) можно образовать два хоровода,
в которых некоторые встречается с остальными
только 1 раз, но при этом не встретятся пары
1-3, 2-5, 4-6 (см. рисунок) Третий хоровод,
удовлетворяющий условию задачи, образовать
не удастся.

1

6

5

4

2

3

6

3

5

2

1

4

Эфиопия

лет, тогда возраст остальных
моих братьев находится из уравнения:
Х +

(х− 4) + (х − 4 − 3) + 0,25(х − 4 − 3) = 23; х = 11.

Сколько велосипедов?

Поставим трехколесные велосипеды на два задних колеса, тогда на земле будут
находиться 14 колес (всего велосипедов 7), а 4 колеса подняты над землей, они
принадлежат трехколесным велосипедам. Трехколесных велосипедов − 4,
двухколесных − 3.

Задача 1. Найдем сначала число, которое делится на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 без
остатка − это НОК(2,3,4,5,6) = 60. Запишем несколько кратных числа 60:
120, 180, 240, 300, 360,…и рассмотрим числа, большие них на 1:
121,181, 241, 301, 361,…Эти числа при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дают остаток 1.
Найдем среди них числа, кратные 7. Первое такое число 301, потом − 721 и т. д.

Задача 2. Разделим монеты на три кучки по три в каждой. Положим на чашки весов
любые две кучки. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета в третьей
кучке. Возьмем любые две монеты из этой кучки и положим на чашки весов. Если весы
в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая, а если… продолжите решение
самостоятельно.

Эфиопия

смеси содержится
1/5 часть всей воды, т. е. 1/5 от

4 литров, что составляет 4/5л = 0,8л.
4л − 0,8л = 3,2л − осталось воды после второго переливания.
1/5 от 3,2л есть 0,64л. 3,2 − 0,64 = 2,56(л) − осталось воды после третьего переливания.

Задача 3. Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго − 2, из третьего − 3…
… из 10 − 10 монет. Если бы все монеты были настоящие, то масса монет, взятых
указанным способом, была бы равна 10 + 20 + … + 90 + 100 = (10 + 100)·5 = 550(г)
Если фальшивые монеты находятся в первом мешке, то общая масса монет на
весах будет на 1г меньше, т. е. 550 − 1, если фальшивые монеты находятся во
втором мешке, то масса монет будет 550 − 2, в третьем, то − 550 − 3 грамма и т. д.

Задача 4. Крестьянин перевозит сначала козу, затем − волка, а козу забирает с собой,
потом капусту, оставив козу одну на берегу и, оставив капусту с волком, возвращается
за козой.

Задача 5. Нужно разрезать третье звено цепочки и отдать его в оплату первого дня,
во второй день отдать два звена, а разрезанное получить как сдачу и т. д.

Задача 6. Магические книги − в синем.

Задача 7. Краснова − в белом.

Задача 8. Пусть в первой бочке А ведер кваса, во вторую помещается В ведер, а в
третью − С ведер, тогда В = 3/5А, С = 4/9А.
Из условия следует, что В + С = А + 4 ведра или В + С = (3/5 + 4/9)А = 47/45А = А +2 /45А,
тогда 4 ведра = 2/45А, А = 90 ведер. В = 54 ведра, С = 40 ведер.

Задача 4. Крестьянин перевозит сначала козу, затем − волка, а козу забирает с собой,
потом капусту, оставив козу одну на берегу и, оставив капусту с волком, возвращается
за козой.

2000 г.
● LXV московская математическая олимпиада. − Москва, 2002 г.
●

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. − Москва, «Наука»,
главная редакция физико-математической литературы, 1978 г.
● Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. − Москва,
«Просвещение», 1988 г.
● Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. − Москва, «Наука»,
главная редакция физико-математической литературы, 1978 г.
● Коваль С. От развлечения к знаниям. − Wydawnictwa naukowo-tecniczne,
Warszawa, 1975.
● Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. − Москва,
«Просвещение», 2000 г.
● Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В.,
Потапов М.К. Старинные
Занимательные задачи. − Москва,
АО «Столетие», 1994 г.

Эфиопия