число, называемое определителем n-го порядка.
Определитель матрицы A обозначается |A|, detA
или ∆.Тема 1.1 (Матрицы и определители)
3 / 27
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы и определители
Содержание
- 1. Матрицы и определители
- 2. ОпределителиТема 1.1 (Матрицы и определители) / 27
- 3. ОпределителиЛюбой квадратной матрице A порядка n ставится
- 4. ОпределителиЛюбой квадратной матрице A порядка n ставится
- 5. ОпределителиОпределителем матрицы первого порядка A = (a11)
- 6. ОпределителиОпределителем матрицы второго порядка A =.11a a12a21 a22Σназывается число,
- 7. ОпределителиОпределителем матрицы третьего порядка A =aa11 a12 13a21 a22 a23a31 a32 a33называется число,
- 8. ОпределителиФормулу (1) легко запомнить, используя правило треугольников илиправило Сарруса.Тема 1.1 (Матрицы и определители)7 / 27
- 9. ОпределителиДля запоминания формулы (1) можно также воспользоваться
- 10. ОпределителиВсякое расположение чисел 1, 2, . .
- 11. ОпределителиВсякое расположение чисел 1, 2, . .
- 12. ОпределителиПусть α1, α2, . . . ,
- 13. ОпределителиПусть α1, α2, . . . ,
- 14. ОпределителиПусть α1, α2, . . . ,
- 15. ОпределителиРассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:A = (2)и
- 16. ОпределителиРассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:A = (2)и
- 17. ОпределителиРассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:A = (2)и
- 18. ОпределителиРассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:A = (2)и
- 19. ОпределителиРассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:A = (2)и
- 20. ОпределителиОпределителем матрицы n-го порядка (2) называется число,
- 21. ОпределителиСвойства определителейПри транспонировании матрицы ее определитель не
- 22. ОпределителиСвойства определителейПри транспонировании матрицы ее определитель не
- 23. ОпределителиСвойства определителейПри транспонировании матрицы ее определитель не
- 24. ОпределителиЕсли какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из
- 25. ОпределителиЕсли какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из
- 26. ОпределителиПри перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее
- 27. ОпределителиОпределитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (два
- 28. ОпределителиЕсли все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы
- 29. ОпределителиЕсли все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы
- 30. ОпределителиОпределитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки (два
- 31. ОпределителиЕсли все элементы i -ой строки матрицы
- 32. Определители..........a11. . .a1n. . .b + c1 1.
- 33. Определители..........a11. . .a1n. . .b + c1 1.
- 34. Определители......7 3 8Например: −1
- 35. ОпределителиЕсли к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить
- 36. ОпределителиОпределитель произведения двух квадратных матриц равен произведению
- 37. ОпределителиОпределитель треугольной и, в частности, диагональной матрицы
- 38. ОпределителиМинором Mij элемента aij матрицы A n-го
- 39. ОпределителиАлгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его
- 40. ОпределителиРазложение определителя матрицы по строке (столбцу).Теорема. Определитель
- 41. ОпределителиРазложение определителя матрицы по строке (столбцу).Теорема. Определитель
- 42. ОпределителиРазложение определителя матрицы по строке (столбцу).Теорема. Определитель
- 43. Скачать презентанцию
ОпределителиТема 1.1 (Матрицы и определители) / 27
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Власова Н.В., Павлова Н.Г.
Электронный образовательный ресурс по дисциплине
"ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ"
Слайд 3Определители
Любой квадратной матрице A порядка n ставится в соответствие некоторое
число, называемое определителем n-го порядка.
или ∆.
Слайд 4Определители
Любой квадратной матрице A порядка n ставится в соответствие некоторое
число, называемое определителем n-го порядка.
Определитель матрицы A обозначается |A|, detA
или ∆.Тема 1.1 (Матрицы и определители)
3 / 27
Слайд 5Определители
Определителем матрицы первого порядка A = (a11) называется элемент a11:
∆1
= |A| = detA = a11.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
4
/ 27
Слайд 6Определители
Определителем матрицы второго порядка A =
.
11
a a
12
a21 a22
Σ
называется число, которое вычисляется по
формуле:
2
∆ = |A| = detA =
.
.
.
.
11
a a
12
a21 a22
.
.
.
.
11 22 12 21
= a
a − a a .Тема 1.1 (Матрицы и определители)
5 / 27
Слайд 7Определители
Определителем матрицы третьего порядка A =
a
a
11 a12 13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
называется число, которое вычисляется по
формуле:
3
.
.
.
.
.
.
a a
11 a12 13
∆ = |A| = detA = a
21 a22 23
a31 a32 a33
.
.
.
.
.
.
a =
(1)
= a11a22a33 + a12a23a31 +
a13a21a32−−a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
6 / 27
Слайд 8Определители
Формулу (1) легко запомнить, используя правило треугольников или
правило Сарруса.
Тема 1.1
(Матрицы и определители)
7 / 27
Слайд 9Определители
Для запоминания формулы (1) можно также воспользоваться правилом параллельных линий
, предварительно дописав за столбцами данной матрицы сначала первый столбец,
а затем второй столбец этой матрицы.Тема 1.1 (Матрицы и определители)
8 / 27
Слайд 10Определители
Всякое расположение чисел 1, 2, . . . , n
в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел.
Число различных
перестановок из n чисел равно произведению1 · 2 . . . n, обозначаемому n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
9 / 27
Слайд 11Определители
Всякое расположение чисел 1, 2, . . . , n
в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел.
Число различных
перестановок из n чисел равно произведению1 · 2 . . . n, обозначаемому n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
9 / 27
Слайд 12Определители
Пусть α1, α2, . . . , αn — произвольная
перестановка, составленная из первых n натуральных чисел.
Говорят, что в данной
перестановке числа αi и αj образуют инверсию, если i < j, но αi > αj .Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий, и
нечетной — в противном случае.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
10 / 27
Слайд 13Определители
Пусть α1, α2, . . . , αn — произвольная
перестановка, составленная из первых n натуральных чисел.
Говорят, что в данной
перестановке числа αi и αj образуют инверсию, если i < j, но αi > αj .Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий, и
нечетной — в противном случае.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
10 / 27
Слайд 14Определители
Пусть α1, α2, . . . , αn — произвольная
перестановка, составленная из первых n натуральных чисел.
Говорят, что в данной
перестановке числа αi и αj образуют инверсию, если i < j, но αi > αj .Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий, и
нечетной — в противном случае.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
10 / 27
Слайд 15Определители
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
A =
(2)
и всевозможные произведения n
ее элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах:
(3)
a1α1 a2α2
. . . anαn .В произведении (3) сомножители записаны в порядке возрастания их первых индексов.Вторые индексы составляют перестановку
α1, α2, . . . , αn.Число произведений (3) равно n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
11 / 27
Слайд 16Определители
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
A =
(2)
и всевозможные произведения n
ее элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах:
(3)
a1α1 a2α2
. . . anαn .В произведении (3) сомножители записаны в порядке возрастания их первых индексов.Вторые индексы составляют перестановку
α1, α2, . . . , αn.Число произведений (3) равно n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
11 / 27
Слайд 17Определители
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
A =
(2)
и всевозможные произведения n
ее элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах:
(3)
a1α1 a2α2
. . . anαn .В произведении (3) сомножители записаны в порядке возрастания их первых индексов.Вторые индексы составляют перестановку
α1, α2, . . . , αn.Число произведений (3) равно n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
11 / 27
Слайд 18Определители
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
A =
(2)
и всевозможные произведения n
ее элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах:
(3)
a1α1 a2α2
. . . anαn .В произведении (3) сомножители записаны в порядке возрастания их первых индексов.Вторые индексы составляют перестановку
α1, α2, . . . , αn.Число произведений (3) равно n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
11 / 27
Слайд 19Определители
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
A =
(2)
и всевозможные произведения n
ее элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах:
(3)
a1α1 a2α2
. . . anαn .В произведении (3) сомножители записаны в порядке возрастания их первых индексов.Вторые индексы составляют перестановку
α1, α2, . . . , αn.Число произведений (3) равно n!.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
11 / 27
Слайд 20Определители
Определителем матрицы n-го порядка (2) называется число, равное алгебраической сумме
n! произведений (3), составленной в соответствии со следующим правилом знаков:
произведение берется со знаком "плюс", если вторые индексы образуют четную перестановку, со знаком "минус" — если нечетную.Тема 1.1 (Матрицы и определители)
12 / 27
Слайд 21Определители
Свойства определителей
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
....
.
.
7 3 8
Например: −10
1 −2
5
. .
. .
. .
. .
. .
. .
7 −10 1
1 6 = 3 1 −
2
8 6 5
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
13
/ 27
Слайд 22Определители
Свойства определителей
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
....
.
.
7 3 8
Например: −10
1 −2
5
. .
. .
. .
. .
. .
. .
7 −10 1
1 6 = 3 1 −
2
8 6 5
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
13
/ 27
Слайд 23Определители
Свойства определителей
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
....
.
.
7 3 8
Например: −10
1 −2
5
. .
. .
. .
. .
. .
. .
7 −10 1
1 6 = 3 1 −
2
8 6 5
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
13
/ 27
Слайд 24Определители
Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из нулей, то ее
определитель равен нулю.
.
.
.
.
.
.
7 3 8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
7 3 0
1 −2 5 1 −2
0.
.
.
.
.
.
Например: 0 0 0 = 0; 1 −3 0 = 0
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
14 / 27
Слайд 25Определители
Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из нулей, то ее
определитель равен нулю.
.
.
.
.
.
.
7 3 8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
7 3 0
1 −2 5 1 −2
0.
.
.
.
.
.
Например: 0 0 0 = 0; 1 −3 0 = 0
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
14 / 27
Слайд 26Определители
При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак
на противоположный.
....
.
.
7 3 8
Например: −
0 3 5
.
.
.
.
1 2 0 =
−....
. .
. .
7 3 8
0 3 5
−1 2 0
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
15 / 27
Слайд 27Определители
Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен
нулю.
....
.
.
7 3 8
Например: −
−1 2 3
.
.
.
.
.
....
. .
.
7 3 3
1 2
3 = 0; −−1 1 1
.
.
.
.
.
.
1 2 2 = 0
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
16 / 27
Слайд 28Определители
Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число,
то ее определитель умножится на это число. Поэтому за знак
определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца..
.
7 3 8
Например: −
2 1 0
.. . .
..
. .
. .
. .
. .
. .
7 3 8
2 4 6 = 2 −
1 2 3
2 1 0
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
17 / 27
Слайд 29Определители
Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число,
то ее определитель умножится на это число. Поэтому за знак
определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца..
.
7 3 8
Например: −
2 1 0
.. . .
..
. .
. .
. .
. .
. .
7 3 8
2 4 6 = 2 −
1 2 3
2 1 0
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
17 / 27
Слайд 30Определители
Определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки (два пропорциональных столбца), равен
нулю.
....
.
.
7 3 8
Например: −
−2 4 6
.
.
.
.
.
....
. .
.
7 −3 3
1 2
3 = 0; −−1 1 −1
.
.
.
.
.
.
1 −2 2 = 0
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
18 / 27
Слайд 31Определители
Если все элементы i -ой строки матрицы n-го порядка представлены
в виде суммы двух слагаемых:
aij = bj + cj ,
j = 1, 2, . . . , n,то определитель этой матрицы равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i -ой, такие же, как и в заданной матрице, а i -ая строка первой состоит из элементов bj , второй — из элементов cj :
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
19 / 27
Слайд 32Определители
....
.
.
.
.
..
a11
. . .
a1n
. . .
b + c
1 1
. . .
an1
a12 . .
.
. . . . . .
b2 + c2 . . .
. .
. . . .an2 . . .
....
.
.
.
.
..
b + c =
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
1n
1
a a12 . . . a
. . . . . . . . . . . .
b b2 . . . bn
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . .
ann
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
. .
a
. . . a
1n
n n
. . .
ann
11 a12
. . . . . . . . . . . .
+ c1 c2 . . . cn
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . .
ann
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
20 / 27
Слайд 33Определители
....
.
.
.
.
..
a11
. . .
a1n
. . .
b + c
1 1
. . .
an1
a12 . .
.
. . . . . .
b2 + c2 . . .
. .
. . . .an2 . . .
....
.
.
.
.
..
b + c =
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
1n
1
a a12 . . . a
. . . . . . . . . . . .
b b2 . . . bn
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . .
ann
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
. .
a
. . . a
1n
n n
. . .
ann
11 a12
. . . . . . . . . . . .
+ c1 c2 . . . cn
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . .
ann
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
20 / 27
Слайд 34Определители
....
.
.
7 3 8
Например: −1 2 3
−1
2 3
.
. .
. .
. .
. .
.
. .
7 3 8
+ 2 1 −1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
7
3 8= 1 3 2
−1 2 3 −1 2 3
.
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
21 / 27
Слайд 35Определители
Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец),
умноженную на число, то определитель этой матрицы не изменится.
....
.
.
7
3 8Например: −
3 1 −1
.
.
.
.
.
.
1 2 3 =
..
.
.
.
.
7 3 8
−1 + 2 · 3 2 + 2 · 1 3 + 2 · (
3 1 −1
.. ..
. .
. .
. .
. .
−1) = 5 4
7 3 8
1
3 1 −1
..
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
22 / 27
Слайд 36Определители
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
.
.
....
7
3 8
Например: −1 2 3
1 −2 −1
.
.
.
.
.
.
..
..
.
.
7 3 8
. .
.
.. .
. .
. .
1 −2 −1
−1 2 3 · 3 4 −
1
3 1 −1 2 3 1
3 4 −1 =
3 1 −1 2 3 1
. . .
.
.
.
.
.
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
23 / 27
Слайд 37Определители
Определитель треугольной и, в частности, диагональной матрицы равен произведению ее
диагональных элементов.
.
.
.
.
.
.
1 −2 −1
Например: 0 4 −
0 0 1
.
.
.
.
.
.
1 = 4
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
24
/ 27
Слайд 38Определители
Минором Mij элемента aij матрицы A n-го порядка (2) называется
определитель матрицы (n − 1)-го порядка, полученной из матрицы A
вычеркиванием i -ой строки и j-го столбца.Тема 1.1 (Матрицы и определители)
25 / 27
Слайд 39Определители
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор, умноженный на
(−1)i +j :
Aij = (−1)i +j Mij .
Тема 1.1 (Матрицы
и определители)26 / 27
Слайд 40Определители
Разложение определителя матрицы по строке (столбцу).
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен
сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические
дополнения:n
Σ
k=1
|A| = detA = a A + a A + . . . + a A = a A
i 1 i 1 i 2 i 2 in in ik ik
(разложение по элементам i -й строки),
n
Σ
k=1
|A| = detA = a A + a A + . . . + a A = a A
1j 1j 2j 2j nj nj kj kj
(разложение по элементам j-го столбца).
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
27 / 27
Слайд 41Определители
Разложение определителя матрицы по строке (столбцу).
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен
сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические
дополнения:n
Σ
k=1
|A| = detA = a A + a A + . . . + a A = a A
i 1 i 1 i 2 i 2 in in ik ik
(разложение по элементам i -й строки),
n
Σ
k=1
|A| = detA = a A + a A + . . . + a A = a A
1j 1j 2j 2j nj nj kj kj
(разложение по элементам j-го столбца).
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
27 / 27
Слайд 42Определители
Разложение определителя матрицы по строке (столбцу).
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен
сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические
дополнения:n
Σ
k=1
|A| = detA = a A + a A + . . . + a A = a A
i 1 i 1 i 2 i 2 in in ik ik
(разложение по элементам i -й строки),
n
Σ
k=1
|A| = detA = a A + a A + . . . + a A = a A
1j 1j 2j 2j nj nj kj kj
(разложение по элементам j-го столбца).
Тема 1.1 (Матрицы и определители)
27 / 27
