Методы решения

а) метод обращения к монотонности функции.
б) метод использование

свойства ограниченности функции.
2. Метод обращения к условию равенства обратных тригонометрических функций:
а) одноимённых.
б) разноимённых.
3. Метод замены переменной.
а) сведение к однородному.
б) сведение к алгебраическому с применением различных преобразований.

на содержание

обратных тригонометрических функций

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основываются исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Если функция y= f(x) монотонна, то уравнение f(x)= c(c= cont) имеем не более одного решения.
ТЕОРЕМА 2. Если функция y= f(x) монотонно возрастает, а функция y= g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного решения.
ТЕОРЕМА 3. Если f(x)=c = g(x) (c= const), то на множестве Х уравнение f(x)= g(x) равносильно системе
f(x)= c,
g(x)= c.

Методы решения

2arcsin 2x = 3arccos x.

Решение. Функция у = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция у = 3arccos x - монотонно убывающей. Число х= 0,5 является, очевидно, корнем данкого уравнения. В силу теоремы 2 этот корень - единственный.
Ответ: {0,5}.

.Тогда уравнение примет вид

. Функции
y=arctg z и y=arcsin z являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также
является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение
имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому <=>


Ответ: {- 1; 0}.

монотонно убывающую на отрезке

функцию
Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного
корня. Очевидно, что корень этого уравнения
Поэтому решением неравенства является
отрезок

Ответ:

(x + y)) + arcsin (y (x + y)) =

Решение. Поскольку arcsin t при |t | 1, то левая
Часть уравнения не превосходит
Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой
части равно . Таким образом, уравнение равносильно
системе:

x(x+y)=1
y(x+y)=1


Решение последней системы не представляет труда.

Ответ:

Методы решения

части которых являются одноимёнными обратными

тригонометрическими функциями.
Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов, основываются, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y= arcsin t и y= arctg t монотонно вовозрастают, а функции y= arccos t и y= arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы:

Методы решения

части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями.
При

решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение
arcsin f(x)= arccos g(x). Предположим, что х0 –решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(x0)= arccos g(x0) через

Методы решения

Некоторые уравнения и

неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Методы решения

и неравенствам.

Методы решения