Методы решения экстремальных задач

математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их

решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления.

что экстремальная задача — математическая модель процессов реальной действительности; формировать

у учащихся умения решать оптимизационные задачи методами, характерными для данного класса задач.

знает:
Что называется экстремальной задачей;
алгоритм решения экстремальных задач;
основные методы решения экстремальных

задач: метод опорных функций; метод, основанный на применении некоторых теорем.

(1 час) Тема 2. «Использование понятия синуса и косинуса угла

при решении задач» (2 часа)
Тема 3. «Решение экстремальных задач с применением некоторых теорем» (2 часа)
Тема 4. «Решение прикладных задач» (1 час)
Тема 5. «Решение древнейших задач с помощью производной» (1 час)
Тема 6. Итоговое занятие (2 часа)

о понятии экстремальной задачи, об алгоритме её решения; Выделить свойства

квадратичной функции, которые могут быть использованы при решении задач.
Задача 1. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х2 где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в тыс. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход?

каким образом понятия синуса и косинуса угла могут быть использованы

при решении задач. Повторяются теоретические положения. Цель: Закрепить изученный материал решением задач.
Цель: Рассмотреть применимость некоторых теорем при решении задач.

решении экстремальных задач.
Цель: Рассмотреть методы решения прикладных экстремальных

задач различными способами.
На занятиях решаются задачи на закрепление изученного материала по данной теме.

задач.
Задача Герона, задача Кеплера о вписанном цилиндре,

задача Тартальи, задача Евклида о параллелограмме наибольшей площади, вписанном в треугольник. Перевод задач на математический язык, их решение основным методом.
Цель: Систематизировать и обобщить основные теоретические факты, полученные при изучении занятий.
Цель: Систематизировать и обобщить основные теоретические факты, получить обратную связь от учащихся .

функции при решении задач»

Цель: создать условия, при которых

школьники установят, какие свойства квадратичной функции могут быть использованы при решении задач.

задач;
один из методов решения задачи, а именно – использование свойств

квадратичной функции.

функции (используя теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции)

(эвристическая беседа), а также практические (поиск наибольшего или наименьшего значения

квадратичной функции по готовым чертежам);
по характеру познавательной деятельности учащихся – частично-поисковая;
по степени управления учебной деятельностью – под руководством учителя через систему целесообразно подобранных задач и вопросов;
метод мотивации – практическая необходимость;

важность имеют те науки, которые позволяют решать задачу, общую для

всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды»
П. Л. Чебышев (1821-1894)

Из курса восьмого класса вам известно, что

любую квадратичную функцию у=ах2+вх+с с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде у=ах2+вх+с=а ( х+в/2а)2+(4ас-в2)/4а
. Основные возможности квадратичной функции, в плане решения оптимизационных задач, связаны именно с таким её представлением: у =а (х-х0)2+у0
Скажите, какие координаты имеет тогда вершина параболы?

Учитель. Так как квадратичная функция принимает своё наименьшее или наибольшее значение в вершине параболы, то для нахождения наименьшего или наибольшего значения достаточно найти координаты вершины.

есть направление ветвей параболы, можно без труда найти наименьшее или

наибольшее значение квадратичной функции . Чему оно будет равно? Теперь сформулируем теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Ученики (записывают в тетрадь). Теорема о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Если а>0 ( а<0), то функция у=ах2+вх+с при х = -в /2а принимает наименьшее (наибольшее) значение, равное 4ас-в2/4а.

Задача 1. Зависимость между размером используемой площади полей

и валовым доходом из расчета на 100 га сельскохозяйственных угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х2, где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в млн. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход? Каков будет этот доход?
На доске и в тетрадях учеников появляются записи:
Задача 1. Функция у =9+9х-1,5х2 принимает наибольшее значение при х=-9/2(-1,5) , х=3 (тыс. га.),
унаиб=4(-1,5)9-92/4(-1,5) , у=22,5(млн. руб.).
Ответ: хозяйство будет иметь наибольший доход на 100 га сельск. угодий, равный приблизительно22,5 млн. руб., при площади 3 тыс. га.

Задача и ее решение

следующей схеме, состоящей из пяти этапов.
Проанализировав условие задачи, определяют,

наибольшее или наименьшее значение какой величины следует найти (часто говорят: какую величину следует оптимизировать?).
Одну из неизвестных величин принимают за независимую переменную и обозначают её буквой х . Определяют границы изменения х.

.

.

требуется найти, выражают через х и известные величины (чаще всего

зависимость выражается с помощью функции у=f(х))).
Находят средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х .
Интерпретируют результат для рассматриваемой задачи. Записывают ответ.

точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

Из точки А на ВС опущен перпендикуляр АД, при чём АД=а,ВД=в , и СД=с . На отрезке ВД отмечена точка М так, чтобы значение суммы квадратов расстояний от М до А,В и С было наименьшим. Найти это значение.
Решение. 1 этап. Оптимизируемая величина: АМ2+ВМ2+СМ2 . 2этап. Независимая переменная: МД=х , о<х<в ,
3 этап. 1) ∆АДМ- прямоугольный ,
поэтому по теореме Пифагора
АМ2=МД2+АД2=х2+а2 ; 2) ВМ=(в-х)2 ;
3) СМ=(с+х)2 ;4) у=3х2+2(с-в)х+а2+в2+с2
4 этап. унаим=а2+2/3(в2+вс+с2) 5 этап.
Ответ: наим. значение суммы квадратов
расстояний а2+2/3(в2+вс+с2) равно .

на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на

его частях, была наименьшей. Учитель. Какую величину
следует оптимизировать? Чему равна площадь
квадрата ADFG? DBNM ? Какой вид примет
оптимизируемая величина?
Подумайте, какую из величин следует принять за независимую переменную? Теперь определите границы изменения х. Выразим оптимизируемую величину через х. Найдем наименьшее значение функции и интерпретируем результат задачи.
Ответ: следует разделить отрезок пополам.

следующие записи:
Задача 3. 1 этап. Оптимизируемая величина: SADFG+SDBNM,

2 этап. Независимая переменная:AD=x , o 3 этап. SADFG+SDBNM =AD2+DB2=x2+(a-x)2 = x2+a2-2ax+x2 = 2x2-2ax+a2,
4 этап. y(x)=2x2-2ax+a2 х=a|2.
5 этап. Ответ: следует разделить отрезок пополам.

.
5 этап. Ответ: следует разделить отрезок пополам.

нового. Дома вы решите задачу 4, используя рассмотренную на уроке

схему.
Задача 4. На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении неразрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда, если начальная скорость снарядаV0=300 m/c.
Ускорение земного притяжения считать равным 10 m/c2, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Чистые пруды, 2007. — 32 с.: ил.
Алгебра: Учеб. для 10

– 11 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение,2002. —384с.: ил.
Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.
Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.
Виленкин Н.Я. Алгебра для 9 кл. с угл. изуч. математики. М.: «Посвещение».-2005год.

А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Методическое пособие

для учителя. – М.: Мнемозина, 2000. – 144с.: ил.
Зильберберг Н. И. Алгебра и начала анализа. Для углубленного изучения в 10 классе. – Псков, 1994.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции// Математика.- 2007.- №7.- С.2-7
Решение прикладных задач по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»// Математика.- 2007.- №7.- С.11
Итоговое повторение по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»// Математика.- 2007.- №7.- С.8-10
Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ Т.А Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова; Под ред. Проф. Т.А. Ивановой.- Н.Новгород: НГПУ,2003, 320с