Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1
Содержание
- 1. Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1
- 2. 1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения
- 3. 1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или
- 4. В общем случае, если решение неравенства не
- 5. Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Так
- 6. при x = 2 или x =
- 7. На числовой прямой Ox дано графическое представление
- 8. Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:
- 9. Неравенства, содержащие иррациональные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы
- 10. Слайд 10
- 11. Слайд 11
- 12. Пример 3. Решите неравенствоРешение. Если 2 -
- 13. На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем
- 14. Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенствоРешение. Используя
- 15. Первое неравенство системы (I) приводим к виду:На
- 16. Тогда решением системы (I) все значения Для
- 17. При решении данного в примере 4 неравенства
- 18. Пусть x2-2x - 3 < 0. Так
- 19. Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим
- 20. На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
- 21. Пример 6. Решите неравенствоРешение. Обозначим . Тогда выразим
- 22. Возвращаемся к переменной x :
- 23. Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Область
- 24. Так как на области определения исходного неравенства ,
- 25. На рис. представлена графическая интерпретация получения решения
- 26. Неравенства, содержащие показательные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы
- 27. В частности:
- 28. Пример 8. Решите неравенствоРешение. 1-й способ. Область
- 29. Получаем неравенство2-й способ. Так както, используя схему (12), получаем:
- 30. Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)
- 31. Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x
- 32. При решении данного неравенства использован формальный переход
- 33. Слайд 33
- 34. Неравенства, содержащие логарифмические выраженияПриведем некоторые стандартные схемы
- 35. ● Если число 0 < a <
- 36. Пример 10. Решите неравенствоlog0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)Решение. Так как основание
- 37. Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя
- 38. На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
- 39. Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенствоРешение. В
- 40. Так как при допустимых значениях переменной x
- 41. С учетом области определения данного неравенстваполучаем ответ.
- 42. Неравенства, содержащие выражения с модулямиПример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
- 43. Слайд 43
- 44. Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств
- 45. Пример 14. Решите неравенствоРешение. Используя схему (20)
- 46. Пример 15. Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно
- 47. Пример 16. Решите неравенствоРешение. Используя схему (22),
- 48. Для решения неравенств вида:где символ \/ заменяет
- 49. На каждом из промежутков, на которые найденные
- 50. Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков
- 51. Если , то исходное неравенство равносильно неравенствуx -1+
- 52. Расщепление неравенствЕсли левая часть неравенства представляет собой
- 53. Слайд 53
- 54. Пример 18. Решите неравенствоРешение. Приведем данное неравенство
- 55. Решим каждое неравенство системы (I).Для неравенства (1) имеем:Для неравенства (2) имеем:
- 56. Значит все значения x принадлежат (0; 1]
- 57. Значит все значения – решения системы (II).Объединяя решения
- 58. Используемая литература:Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.
- 59. Скачать презентанцию
1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование),
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1(типовые задания С3) - 1
Методы решения неравенств
с одной переменной
Методическая разработка
Амачкиной А.А.
Слайд 21. Алгебраические методы решения
Если исходить из определения неравенства, в котором
в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении
неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходного неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.
Слайд 31.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Как правило,
преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаков
корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма. Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенств определенного вида. При этом отметим, что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки преобразований
Слайд 4В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную
схему, ход решения разбивают на несколько логически возможных случаев.
Слайд 5Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Так как x2 -
6x + 9 = (x-3)2 , то область допустимых значений
переменной x определяется условиями:Исходное неравенство при полученных ограничениях для переменной x равносильно неравенству
Слайд 6при x = 2 или x = 4 . Значит,
с учетом полученных ранее ограничений, x = 2 – решение,
так как в этом случае левая часть неравенства (1) равна нулю.
Слайд 7На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.
Замечание.
При решении неравенства
использован метод интервалов.
С учетом полученных ранее
ограничений записываем ответ.
Слайд 8Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные преобразования данного
неравенства, получим:
Слайд 9Неравенства, содержащие иррациональные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных
неравенств, в которых используют возведение в натуральную степень обеих частей
неравенства.
Слайд 12Пример 3. Решите неравенство
Решение. Если 2 - x > 0
или 2 - x = 0 , то исходное неравенство
не выполняется, так какПусть 2 - x > 0 , тогда при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим на ее области определения и при условии 2 - x > 0 равносильное неравенство.
Слайд 13На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы
неравенств. В итоге получаем
Слайд 14Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство
Решение. Используя схему (6), получим,
что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Для системы (I) имеем:
Слайд 15Первое неравенство системы (I) приводим к виду:
На числовой прямой Ox
дано графическое представление решения первого неравенства системы (I).
Слайд 16Тогда решением системы (I) все значения
Для системы (II) имеем:
Следовательно,
решением системы (II) будет Объединяя решения (I) и (II), получаем
ответ.
Слайд 17При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход
к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим содержательную сторону этого
перехода. Если , то обе части неравенства неотрицательны. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определения и при условииравносильное не равенство, то есть систему неравенств
Слайд 18Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное
неравенство выполняется на области его определения, т.е. получаем систему неравенств
Слайд 20На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
Слайд 21Пример 6. Решите неравенство
Решение. Обозначим . Тогда выразим x = t
2 + 2 и приведем данное неравенство к виду
Так как
t + 2 > 0, то получаем равносильное неравенство 2t 2 + 7 >t 2 + 4t + 4 или t 2 - 4t +3 > 0 при Отсюда получаем
Слайд 23Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
Решение. Область определения данного неравенства
определяется условиями:
Запишем исходное неравенство в следующем виде
Слайд 24Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе
части неравенства (*) на получим неравенство, равносильное исходному:
Левая и правая
части последнего неравенства неотрицательны при - 0,5 
Слайд 25На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
С
учетом условия - 0,5 < x < 8 получаем ответ.
Слайд 26Неравенства, содержащие
показательные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств,
в которых используют логарифмирование обеих частей неравенства.
Слайд 28Пример 8. Решите неравенство
Решение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной
x определяется условием:
При допустимых значениях переменной преобразуем левую часть данного
неравенства
Слайд 30Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)
(см. раздел неравенства, содержащие логарифмические выражения»).
Слайд 31Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x
неравенство к виду
(x2 + x +1) x < (x2+x
+1)0 и воспользуемся схемой (9).Решим систему (1) полученной совокупности:
Решим систему (2) совокупности:
Слайд 32При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности
по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Выражение (x2
+ x +1)x положительно, так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R . Прологарифмируем обе части данного неравенстваlg(x2 + x +1)x < lg1 x lg(x2 + x +1) <0
Слайд 34Неравенства, содержащие
логарифмические выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств,
в которых используют потенцирование обеих частей неравенства.
В частности:
● Если число
a >1, то
Слайд 36Пример 10. Решите неравенство
log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)
Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих
в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию
0 < 0,1
1, то, используя схему (19), получаем, что данное неравенство равносильно системеНа рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
Слайд 37Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные переходы, получим,
что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств
В соответствии со схемой
(17) для решения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей
Слайд 38На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
Слайд 39Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство
Решение. В соответствии с определением
логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:
Слайд 40Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма
справедливы равенства:
то исходное неравенство приводится к виду
Последнее неравенство равносильно совокупности
двух систем на множестве
Слайд 42Неравенства, содержащие выражения с модулями
Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Слайд 44Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые
опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства.
Слайд 45Пример 14. Решите неравенство
Решение. Используя схему (20) получаем, что данное
неравенство равносильно системе неравенств
или после приведения подобных членов
Слайд 46Пример 15. Решите неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно следующему
Используя схему (23),
получаем, что это неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности
неравенств
Слайд 47Пример 16. Решите неравенство
Решение. Используя схему (22), получаем, что данное
неравенство равносильно совокупности неравенств
Используя схемы (20) и (22), получаем, что
эта совокупность равносильна следующей.
Слайд 48Для решения неравенств вида:
где символ \/ заменяет один из знаков
неравенств: применяют метод промежутков. Для этого находят ОДЗ неравенства, определяют
точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят корни совокупности уравнений
Слайд 49На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ,
функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное
неравенство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному.Пример 17. Решите неравенство
Решение. Решением совокупности
являются числа 1 и 2.
Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка
Слайд 50Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком
модуля решим данное неравенство на каждом из этих промежутков
+
_
Если x
то исходное неравенство равносильно неравенству - x +1- x + 2 > 3 + x , x < 0 . Получаем, что x < 0 есть решение исходного неравенства на рассматриваемом промежутке.Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1- x + 2 > 3+ x , x <-2 . Следовательно, на этом промежутке решений нет.
Слайд 51Если , то исходное неравенство равносильно неравенству
x -1+ x - 2
> 3+ x , x > 6 .
Получаем, что x
> 6 есть решение исходного уравнения на рассматриваемомпромежутке.
Объединяя полученные решения, запишем ответ.
Слайд 52Расщепление неравенств
Если левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений,
а правая часть равна нулю, то схема решения неравенства опирается
на правило знаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.
Слайд 54Пример 18. Решите неравенство
Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду:
В
соответствии со схемой полученное неравенство равносильно совокупности систем (I) и
(II):
Слайд 56Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы
(I).
Найдем решение системы (II). Для неравенства (3), используя решение (1),
имеем:![Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I).Найдем решение системы (II). Для неравенства (3),](/img/thumbs/6fdf98150a9b7854b8a88af4c5f4062e-800x.jpg "Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1 Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I).Найдем")
Слайд 57Значит все значения – решения системы (II).
Объединяя решения систем (I) и
(II), получаем ответ.
Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая
ограниченияимеем:
Слайд 58
Используемая литература:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной
переменной.
Теги
