Разделы презентаций


Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1

Содержание

1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование),

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1(типовые задания С3) - 1
Методы решения неравенств
с одной переменной
Методическая разработка

Амачкиной А.А.
МОУ СОШ №12,
г. Балашиха, Московской области.

(типовые задания С3) - 1Методы решения неравенствс одной переменнойМетодическая разработка Амачкиной А.А.МОУ СОШ №12, г. Балашиха, Московской

Слайд 21. Алгебраические методы решения
Если исходить из определения неравенства, в котором

в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении

неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходного неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.
1. Алгебраические методы решенияЕсли исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной,

Слайд 31.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
Как правило,

преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаков

корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма. Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенств определенного вида. При этом отметим, что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки преобразований
1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности системКак правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве

Слайд 4В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную

схему, ход решения разбивают на несколько логически возможных случаев.

В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему, ход решения разбивают на несколько логически

Слайд 5Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Так как x2 -

6x + 9 = (x-3)2 , то область допустимых значений

переменной x определяется условиями:

Исходное неравенство при полученных ограничениях для переменной x равносильно неравенству

Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Так как x2 - 6x + 9 = (x-3)2 , то

Слайд 6при x = 2 или x = 4 . Значит,

с учетом полученных ранее ограничений, x = 2 – решение,

так как в этом случае левая часть неравенства (1) равна нулю.
при x = 2 или x = 4 . Значит, с учетом полученных ранее ограничений, x =

Слайд 7На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.
Замечание.

При решении неравенства

использован метод интервалов.
С учетом полученных ранее

ограничений записываем ответ.
На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства.Замечание. При решении неравенства 		использован метод интервалов. С

Слайд 8Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные преобразования данного

неравенства, получим:

Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:

Слайд 9Неравенства, содержащие иррациональные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных

неравенств, в которых используют возведение в натуральную степень обеих частей

неравенства.
Неравенства, содержащие иррациональные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств, в которых используют возведение в натуральную

Слайд 12Пример 3. Решите неравенство
Решение. Если 2 - x > 0

или 2 - x = 0 , то исходное неравенство

не выполняется, так как

Пусть 2 - x > 0 , тогда при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим на ее области определения и при условии 2 - x > 0 равносильное неравенство.

Пример 3. Решите неравенствоРешение. Если 2 - x > 0 или 2 - x = 0 ,

Слайд 13На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы

неравенств. В итоге получаем

На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем

Слайд 14Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство
Решение. Используя схему (6), получим,

что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Для системы (I) имеем:

Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенствоРешение. Используя схему (6), получим, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем:Для

Слайд 15Первое неравенство системы (I) приводим к виду:
На числовой прямой Ox

дано графическое представление решения первого неравенства системы (I).

Первое неравенство системы (I) приводим к виду:На числовой прямой Ox дано графическое представление решения первого неравенства системы

Слайд 16Тогда решением системы (I) все значения






Для системы (II) имеем:
Следовательно,

решением системы (II) будет Объединяя решения (I) и (II), получаем

ответ.
Тогда решением системы (I) все значения Для системы (II) имеем:Следовательно, решением системы (II) будет Объединяя решения (I)

Слайд 17При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход

к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим содержательную сторону этого

перехода. Если , то обе части неравенства неотрицательны. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определения и при условии
равносильное не равенство, то есть систему неравенств
При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим

Слайд 18Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное

неравенство выполняется на области его определения, т.е. получаем систему неравенств

Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как			, то исходное неравенство выполняется на области его определения, т.е.

Слайд 19Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные переходы, получим

Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим

Слайд 20На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Слайд 21Пример 6. Решите неравенство
Решение. Обозначим . Тогда выразим x = t

2 + 2 и приведем данное неравенство к виду
Так как

t + 2 > 0, то получаем равносильное неравенство 2t 2 + 7 >t 2 + 4t + 4 или t 2 - 4t +3 > 0 при

Отсюда получаем

Пример 6. Решите неравенствоРешение. Обозначим					. Тогда выразим x = t 2 + 2 и приведем данное неравенство

Слайд 22Возвращаемся к переменной x :

Возвращаемся к переменной x :

Слайд 23Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
Решение. Область определения данного неравенства

определяется условиями:
Запишем исходное неравенство в следующем виде

Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Область определения данного неравенства определяется условиями:Запишем исходное неравенство в следующем виде

Слайд 24Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе

части неравенства (*) на получим неравенство, равносильное исходному:
Левая и правая

части последнего неравенства неотрицательны при - 0,5
Так как на области определения исходного неравенства				, то, умножив обе части неравенства (*) на				 получим неравенство, равносильное

Слайд 25На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
С

учетом условия - 0,5 < x < 8 получаем ответ.

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.С учетом условия - 0,5 < x <

Слайд 26Неравенства, содержащие показательные выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств,

в которых используют логарифмирование обеих частей неравенства.

Неравенства, содержащие показательные выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств, в которых используют логарифмирование обеих частей

Слайд 27В частности:

В частности:

Слайд 28Пример 8. Решите неравенство
Решение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной

x определяется условием:
При допустимых значениях переменной преобразуем левую часть данного

неравенства
Пример 8. Решите неравенствоРешение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x определяется условием:При допустимых значениях переменной преобразуем

Слайд 29Получаем неравенство
2-й способ. Так как
то, используя схему (12), получаем:

Получаем неравенство2-й способ. Так както, используя схему (12), получаем:

Слайд 30Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)

(см. раздел неравенства, содержащие логарифмические выражения»).

Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)

Слайд 31Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x

неравенство к виду
(x2 + x +1) x < (x2+x

+1)0 и воспользуемся схемой (9).

Решим систему (1) полученной совокупности:

Решим систему (2) совокупности:

Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x

Слайд 32При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности

по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Выражение (x2

+ x +1)x положительно, так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R . Прологарифмируем обе части данного неравенства

lg(x2 + x +1)x < lg1 x lg(x2 + x +1) <0

При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого

Слайд 34Неравенства, содержащие логарифмические выражения
Приведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств,

в которых используют потенцирование обеих частей неравенства.
В частности:
● Если число

a >1, то
Неравенства, содержащие логарифмические выраженияПриведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств, в которых используют потенцирование обеих частей

Слайд 35● Если число 0 < a < 1, то
В частности:

Если число a >1, то
● Если число 0 < a

< 1, то
● Если число 0 < a < 1, тоВ частности:● Если число a >1, то● Если число

Слайд 36Пример 10. Решите неравенство
log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)

Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих

в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию
0 < 0,1

1, то, используя схему (19), получаем, что данное неравенство равносильно системе

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Пример 10. Решите неравенствоlog0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3)Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию 0

Слайд 37Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство
Решение. Выполняя равносильные переходы, получим,

что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств
В соответствии со схемой

(17) для решения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей
Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенствоРешение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенствВ

Слайд 38На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Слайд 39Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство
Решение. В соответствии с определением

логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенствоРешение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл

Слайд 40Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма

справедливы равенства:
то исходное неравенство приводится к виду
Последнее неравенство равносильно совокупности

двух систем на множестве
Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы равенства:то исходное неравенство приводится к видуПоследнее

Слайд 41С учетом области определения данного неравенства
получаем ответ.

С учетом области определения данного неравенстваполучаем ответ.

Слайд 42Неравенства, содержащие выражения с модулями
Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство
Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Неравенства, содержащие выражения с модулямиПример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Слайд 44Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые

опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства.

Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл

Слайд 45Пример 14. Решите неравенство
Решение. Используя схему (20) получаем, что данное

неравенство равносильно системе неравенств
или после приведения подобных членов

Пример 14. Решите неравенствоРешение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство равносильно системе неравенствили после приведения подобных

Слайд 46Пример 15. Решите неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно следующему
Используя схему (23),

получаем, что это неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности

неравенств
Пример 15. Решите неравенствоРешение. Данное неравенство равносильно следующемуИспользуя схему (23), получаем, что это неравенство, а значит и

Слайд 47Пример 16. Решите неравенство
Решение. Используя схему (22), получаем, что данное

неравенство равносильно совокупности неравенств
Используя схемы (20) и (22), получаем, что

эта совокупность равносильна следующей.
Пример 16. Решите неравенствоРешение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство равносильно совокупности неравенствИспользуя схемы (20) и

Слайд 48Для решения неравенств вида:
где символ \/ заменяет один из знаков

неравенств: применяют метод промежутков. Для этого находят ОДЗ неравенства, определяют

точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят корни совокупности уравнений
Для решения неравенств вида:где символ \/ заменяет один из знаков неравенств:				 применяют метод промежутков. Для этого находят

Слайд 49На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ,

функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное

неравенство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному.

Пример 17. Решите неравенство

Решение. Решением совокупности

являются числа 1 и 2.

Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка

На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный

Слайд 50Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком

модуля решим данное неравенство на каждом из этих промежутков
+
_
Если x

то исходное неравенство равносильно неравенству - x +1- x + 2 > 3 + x , x < 0 . Получаем, что x < 0 есть решение исходного неравенства на рассматриваемом промежутке.
Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1- x + 2 > 3+ x , x <-2 . Следовательно, на этом промежутке решений нет.
Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля решим данное неравенство на каждом из

Слайд 51Если , то исходное неравенство равносильно неравенству
x -1+ x - 2

> 3+ x , x > 6 .
Получаем, что x

> 6 есть решение исходного уравнения на рассматриваемом
промежутке.
Объединяя полученные решения, запишем ответ.
Если		, то исходное неравенство равносильно неравенствуx -1+ x - 2 > 3+ x , x > 6

Слайд 52Расщепление неравенств
Если левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений,

а правая часть равна нулю, то схема решения неравенства опирается

на правило знаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.
Расщепление неравенствЕсли левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений, а правая часть равна нулю, то схема

Слайд 54Пример 18. Решите неравенство
Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду:
В

соответствии со схемой полученное неравенство равносильно совокупности систем (I) и

(II):
Пример 18. Решите неравенствоРешение. Приведем данное неравенство к следующему виду:В соответствии со схемой полученное неравенство равносильно совокупности

Слайд 55Решим каждое неравенство системы (I).
Для неравенства (1) имеем:
Для неравенства (2)

имеем:

Решим каждое неравенство системы (I).Для неравенства (1) имеем:Для неравенства (2) имеем:

Слайд 56Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы

(I).
Найдем решение системы (II). Для неравенства (3), используя решение (1),

имеем:
Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I).Найдем решение системы (II). Для неравенства (3),

Слайд 57Значит все значения – решения системы (II).
Объединяя решения систем (I) и

(II), получаем ответ.
Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая

ограничения

имеем:

Значит все значения		– решения системы (II).Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ.Для неравенства (4), используя решение

Слайд 58
Используемая литература:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной

переменной.

Используемая литература:Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика