Обобщенный метод интервалов.

Содержание

1. Обобщенный метод интервалов.
2. Слайд 2
3. Общие методы решения неравенств1. Обобщенный метод интервалов2. Метод рационализации (метод замены множителей)3. Метод мажорант
4. 1. Обобщенный метод интервалов Применимость
5. Алгоритм обобщенного метода интерваловПривести неравенство к виду
6. Неравенство первого типа Решить неравенство
7. Решение
8. Решение2. Найдем нули
9. Решение3. В результате получим промежутки4. Определим знак в полученных промежуткахОтвет:
10. Неравенство второго типа
11. ПримерРешить неравенство Решение.2. Найдем нули
12. Пример3. В результате получим промежутки4. Определим знак в полученных промежуткахОтвет:
13. Неравенство третьего типа
14. Пример. Решить неравенство . Решение.
15. Решение1)ОДЗ: 2)Нули знаменателя: 0; 5. Нуличислителя: 1; 3; 5; 4.
16. Решение Вывод: 3 и 5 корни четной
17. Выясним принадлежность числа 6 множеству решений неравенства,
18. Примеры для самостоятельного решения1. 2. 3.
19. 5. Метод рационализации.Метод рационализации заключается в замене
20. Слайд 20
21. Слайд 21
22. Слайд 22
23. Слайд 23
24. Слайд 24
25. Слайд 25
26. Слайд 26
27. Слайд 27
28. Метод рационализации.
29. Слайд 29
30. Слайд 30
31. Пример
32. Слайд 32
33. Слайд 33
34. Слайд 34
35. Слайд 35
36. Решить неравенство
37. Слайд 37
38. Слайд 38
39. Слайд 39
40. Слайд 40
41. Слайд 41
42. Слайд 42
43. Задание для самостоятельного решения
44. Слайд 44
45. Слайд 45
46. Задание для самостоятельного решения
47. Слайд 47
48. Задачи для самостоятельного решения1.2.3.
49. Метод мажорант (метод минимакса) Метод мажорант является одним
50. Метод мажорант (метод минимакса) Мажоранта и миноранта –
51. Математическая модель для уравнения, решаемого методом мажорант
52. Математическая модель для неравенства, решаемого методом мажорант
53. Опорные неравенстваа)б) в)
54. Схема решенияОценить левую часть f(x) уравнения (неравенства).Оценить
55. Признаки присутствия мажоранты в задачеСмешанное уравнение (или
56. ПримерРешить уравнение: Решение. Очевидно, что , Перемножив почленно эти неравенства, получаем:
57. Пример Левая часть равна правой, лишь при условии
58. Пример Решить уравнениеРешение. Область значений каждой части неравенства равна:1. 2.
59. Пример Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна
60. ПримерИмеет место частный случайгде М – мажоранта для
61. ПримерРешить уравнениеРешение.
62. Задачи для самостоятельного решения1.2. 3. 4.
63. Минимаксные задачи с параметрами При каких значениях параметра
64. Минимаксные задачи с параметрами2) Чтобы оценить правую
65. Минимаксные задачи с параметрами
66. Минимаксные задачи с параметрами
67. Минимаксные задачи с параметрами
68. Скачать презентанцию

Общие методы решения неравенств1. Обобщенный метод интервалов2. Метод рационализации (метод замены множителей)3. Метод мажорант

Главная
Математика
Обобщенный метод интервалов.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1«МЕТОД РЕШЕНИЯ ХОРОШ,
ЕСЛИ С САМОГО НАЧАЛА
МЫ МОЖЕМ ПРЕДВИДЕТЬ –

И ВПОСЛЕДСТВИИ ПОДТВЕРДИТЬ,
ЧТО, СЛЕДУЯ ЭТОМУ МЕТОДУ,
МЫ ДОСТИГНЕМ ЦЕЛИ.»

ЛЕЙБНИЦ

Различные методы решения неравенств

«МЕТОД РЕШЕНИЯ ХОРОШ,ЕСЛИ С САМОГО НАЧАЛА МЫ МОЖЕМ ПРЕДВИДЕТЬ – И ВПОСЛЕДСТВИИ ПОДТВЕРДИТЬ,ЧТО, СЛЕДУЯ ЭТОМУ МЕТОДУ,МЫ ДОСТИГНЕМ

Слайд 2

Слайд 3Общие методы решения неравенств
1. Обобщенный метод интервалов
2. Метод рационализации

(метод замены множителей)
3. Метод мажорант

Слайд 41. Обобщенный метод интервалов
Применимость метода интервалов не

ограничивается решением рациональных неравенств.
Применяя метод интервалов к

решению иррациональных, трансцендентных, комбинированных неравенств, говорят об обобщенном методе интервалов.

1. Обобщенный метод интервалов Применимость метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств. Применяя

Слайд 5Алгоритм обобщенного метода интервалов
Привести неравенство к виду .
Найти область

определения функции (она же

ОДЗ переменной).
Найти нули функции , решив уравнение
Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
Определить знаки функции на полученных интервалах.
Записать ответ, включив в него промежутки в соответствии со знаком неравенства (не забыть включить в ответ изолированные точки).

Алгоритм обобщенного метода интерваловПривести неравенство к виду .Найти область определения функции

Слайд 6Неравенство первого типа

Решить неравенство

Слайд 7Решение

Слайд 8Решение
2. Найдем нули

Слайд 9Решение
3. В результате получим промежутки

4. Определим знак

в полученных промежутках

Ответ:

Слайд 10Неравенство второго типа

Слайд 11Пример
Решить неравенство
Решение.

2. Найдем нули

Слайд 12Пример
3. В результате получим промежутки

4. Определим знак

в полученных промежутках

Ответ:

Слайд 13Неравенство третьего типа

Слайд 14
Пример. Решить неравенство .

Решение. Решим неравенство обобщенным методом интервалов.

Слайд 15Решение
1)ОДЗ:
2)Нули знаменателя: 0; 5. Нули

числителя: 1; 3; 5; 4.

Слайд 16Решение
Вывод: 3 и 5 корни четной кратности. Нанесем найденные корни на

числовую ось, причем только в пределах ОДЗ. Определим знаки левой

части неравенства на полученных промежутках.

Решение Вывод: 3 и 5 корни четной кратности. Нанесем найденные корни на числовую ось, причем только

Слайд 17
Выясним принадлежность числа 6 множеству решений неравенства, определив знак левой

части неравенства при x =6. Проверка показала, что число 6

принадлежит множеству решений неравенства. Ответ

Выясним принадлежность числа 6 множеству решений неравенства, определив знак левой части неравенства при x =6. Проверка показала,

Слайд 18Примеры для самостоятельного решения
1.

2.

3.

Слайд 195. Метод рационализации.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)

на более простое выражение G(x) (в конечном счете рациональ-ное), при

которой неравенство G(x) равносильно неравенству F(x) в области определения выражения F(x) .
Выделим некоторые выражения F и соответст-вующие им рационализирующие выражения G.

5. Метод рационализации.Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Слайд 28Метод рационализации.

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31Пример

Слайд 32

Слайд 33

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36Решить неравенство

Слайд 37

Слайд 38

Слайд 39

Слайд 40

Слайд 41

Слайд 42

Слайд 43Задание для самостоятельного решения

Слайд 44

Слайд 45

Слайд 46Задание для самостоятельного решения

Слайд 47

Слайд 48Задачи для самостоятельного решения
1.

2.

3.

Слайд 49Метод мажорант (метод минимакса)
Метод мажорант является одним из наиболее интересных

нестандартных методов решения уравнений и неравенств.
Задачи на применение метода

мажорант встречаются во всех вузовских олимпиадах и на школьных олимпиадах по математике (на первых трех этапах).

Метод мажорант (метод минимакса) Метод мажорант является одним из наиболее интересных нестандартных методов решения уравнений и неравенств. Задачи

Слайд 50Метод мажорант (метод минимакса)
Мажоранта и миноранта – (от франц.) две

функции, значение первой из которых не меньше, а второй не

больше соответствующих значений данной функции.
Метод мажорант – метод выявления ограниченности функции.
Мажорирование – нахождение точек ограничения функции .

Метод мажорант (метод минимакса) Мажоранта и миноранта – (от франц.) две функции, значение первой из которых не меньше,

Слайд 51Математическая модель для уравнения, решаемого методом мажорант (методом оценки)
М

– мажоранта, если имеем f(x) = g(x) и известно ОО,

и если f(x) ≤ M и g(x) ≥ M, то

Математическая модель для уравнения, решаемого методом мажорант (методом оценки) М – мажоранта, если имеем f(x) = g(x)

Слайд 52Математическая модель для неравенства, решаемого методом мажорант (методом оценки)
f(x)

≤ g(x), причем существует действительное число М такое, что для

всех х из области определения неравенства выполняются следующие неравенства: f(x) ≥ M и g(x) ≤ M
(что меньшая функция f должна быть ≥ мажоранты, а большая функция g ≤ мажоранты).
Тогда получаем, что для любого х из области определения выполняются неравенства:
M ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ M.
Получаем аналогичную систему:

Математическая модель для неравенства, решаемого методом мажорант (методом оценки) f(x) ≤ g(x), причем существует действительное число М

Слайд 53Опорные неравенства
а)
б)

в)

, где ab>0

г)

д)

Слайд 54Схема решения
Оценить левую часть f(x) уравнения (неравенства).
Оценить правую часть g(x)

уравнения (неравенства).
Найти значение мажоранты М.
Составить систему уравнений:
Найти решение этой

системы.
Проверить, является ли найденное значение аргумента корнем данного уравнения (неравенства).

Схема решенияОценить левую часть f(x) уравнения (неравенства).Оценить правую часть g(x) уравнения (неравенства).Найти значение мажоранты М.Составить систему уравнений:

Слайд 55Признаки присутствия мажоранты в задаче
Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в

задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный

трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.
Сложный, вид уравнения или неравенства, большие числа и коэффициенты.
Разновидностью метода мажорант являются задачи, в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку,

Признаки присутствия мажоранты в задачеСмешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и

Слайд 56Пример
Решить уравнение:

Решение. Очевидно, что ,

Перемножив почленно эти неравенства,

получаем:

Слайд 57Пример
Левая часть равна правой, лишь при условии

одновременно.
Следовательно,

данное уравнение равносильно системе уравнений

Отсюда получаем корни уравнения.

Пример Левая часть равна правой, лишь при условии одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений Отсюда получаем корни

Слайд 58Пример
Решить уравнение

Решение. Область значений каждой части неравенства равна:
1.

2.

Слайд 59Пример
Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.

(х–1,5)2 + 4

= 4, х = 1,5.
Ответ: {1,5}.

Пример Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.(х–1,5)2 + 4 = 4, х = 1,5. Ответ:

Слайд 60Пример
Имеет место частный случай

где М – мажоранта для

Слайд 61Пример
Решить уравнение

Решение.

Слайд 62Задачи для самостоятельного решения
1.

2.

3.

4.

Слайд 63Минимаксные задачи с параметрами
При каких значениях параметра а система имеет

единственное решение.
х² + 2ах + 4а² -5а +

3 ≤ 4sin y – 3 cos y,
0 ≤ y ≤ 2π
1) Рассмотрим квадратичную функцию
f(х) = х² + 2ах + 4а² -5а + 3, которая достигает своего наименьшего значения при х = - а
М = а² - 2а² + 4а² -5а + 3= 3а² -5а + 3.

Минимаксные задачи с параметрами При каких значениях параметра а система имеет единственное решение. х² + 2ах + 4а²

Слайд 64Минимаксные задачи с параметрами
2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем

неравенство
4sin y – 3 cos y ≤ √ 4²

+ 3² =5.
3) Для того, чтобы исходная система имела единственное решение, надо чтобы 3а² -5а + 3=5.
3а² - 5а - 2= 0,
а = 1/3, а = 2. Ответ: а = 1/3, а = 2.

Минимаксные задачи с параметрами2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем неравенство 4sin y – 3 cos

Слайд 65Минимаксные задачи с параметрами

Слайд 66Минимаксные задачи с параметрами

Слайд 67Минимаксные задачи с параметрами

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Обобщенный метод интервалов.

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1«МЕТОД РЕШЕНИЯ ХОРОШ,ЕСЛИ С САМОГО НАЧАЛА МЫ МОЖЕМ ПРЕДВИДЕТЬ –

И ВПОСЛЕДСТВИИ ПОДТВЕРДИТЬ,ЧТО, СЛЕДУЯ ЭТОМУ МЕТОДУ,МЫ ДОСТИГНЕМ ЦЕЛИ.»

Слайд 3Общие методы решения неравенств1. Обобщенный метод интервалов2. Метод рационализации

(метод замены множителей)3. Метод мажорант

Слайд 41. Обобщенный метод интервалов Применимость метода интервалов не

ограничивается решением рациональных неравенств. Применяя метод интервалов к

Слайд 5Алгоритм обобщенного метода интерваловПривести неравенство к виду .Найти область

определения функции (она же

Слайд 6Неравенство первого типа Решить неравенство

Слайд 7Решение

Слайд 8Решение2. Найдем нули

Слайд 9Решение3. В результате получим промежутки4. Определим знак

в полученных промежуткахОтвет:

Слайд 10Неравенство второго типа

Слайд 11ПримерРешить неравенство Решение.2. Найдем нули

Слайд 12Пример3. В результате получим промежутки4. Определим знак

в полученных промежуткахОтвет:

Слайд 13Неравенство третьего типа

Слайд 14Пример. Решить неравенство . Решение. Решим неравенство обобщенным методом интервалов.

Слайд 15Решение1)ОДЗ: 2)Нули знаменателя: 0; 5. Нуличислителя: 1; 3; 5; 4.

Слайд 16Решение Вывод: 3 и 5 корни четной кратности. Нанесем найденные корни на

числовую ось, причем только в пределах ОДЗ. Определим знаки левой

Слайд 17Выясним принадлежность числа 6 множеству решений неравенства, определив знак левой

части неравенства при x =6. Проверка показала, что число 6

Слайд 18Примеры для самостоятельного решения1. 2. 3.

Слайд 195. Метод рационализации.Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)

на более простое выражение G(x) (в конечном счете рациональ-ное), при

Слайд 28Метод рационализации.

Слайд 31Пример

Слайд 36Решить неравенство

Слайд 43Задание для самостоятельного решения

Слайд 46Задание для самостоятельного решения

Слайд 48Задачи для самостоятельного решения1.2.3.

Слайд 49Метод мажорант (метод минимакса) Метод мажорант является одним из наиболее интересных

нестандартных методов решения уравнений и неравенств. Задачи на применение метода

Слайд 50Метод мажорант (метод минимакса) Мажоранта и миноранта – (от франц.) две

функции, значение первой из которых не меньше, а второй не

Слайд 51Математическая модель для уравнения, решаемого методом мажорант (методом оценки) М

– мажоранта, если имеем f(x) = g(x) и известно ОО,

Слайд 52Математическая модель для неравенства, решаемого методом мажорант (методом оценки) f(x)

≤ g(x), причем существует действительное число М такое, что для

Слайд 53Опорные неравенстваа)б) в)

, где ab>0г)д)

Слайд 54Схема решенияОценить левую часть f(x) уравнения (неравенства).Оценить правую часть g(x)

уравнения (неравенства).Найти значение мажоранты М.Составить систему уравнений: Найти решение этой

Слайд 55Признаки присутствия мажоранты в задачеСмешанное уравнение (или неравенство), т.е. в

задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный

Слайд 56ПримерРешить уравнение: Решение. Очевидно, что , Перемножив почленно эти неравенства,

получаем:

Слайд 57Пример Левая часть равна правой, лишь при условии одновременно. Следовательно,

данное уравнение равносильно системе уравнений Отсюда получаем корни уравнения.

Слайд 58Пример Решить уравнениеРешение. Область значений каждой части неравенства равна:1. 2.

Слайд 59Пример Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.(х–1,5)2 + 4

= 4, х = 1,5. Ответ: {1,5}.

Слайд 60ПримерИмеет место частный случайгде М – мажоранта для

Слайд 61ПримерРешить уравнениеРешение.

Слайд 62Задачи для самостоятельного решения1.2. 3. 4.

Слайд 63Минимаксные задачи с параметрами При каких значениях параметра а система имеет

единственное решение. х² + 2ах + 4а² -5а +

Слайд 64Минимаксные задачи с параметрами2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем

неравенство 4sin y – 3 cos y ≤ √ 4²

Слайд 65Минимаксные задачи с параметрами

Слайд 66Минимаксные задачи с параметрами

Слайд 67Минимаксные задачи с параметрами

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1«МЕТОД РЕШЕНИЯ ХОРОШ,
ЕСЛИ С САМОГО НАЧАЛА
МЫ МОЖЕМ ПРЕДВИДЕТЬ –

И ВПОСЛЕДСТВИИ ПОДТВЕРДИТЬ,
ЧТО, СЛЕДУЯ ЭТОМУ МЕТОДУ,
МЫ ДОСТИГНЕМ ЦЕЛИ.»

Слайд 3Общие методы решения неравенств
1. Обобщенный метод интервалов
2. Метод рационализации

(метод замены множителей)
3. Метод мажорант

Слайд 41. Обобщенный метод интервалов
Применимость метода интервалов не

ограничивается решением рациональных неравенств.
Применяя метод интервалов к

Слайд 5Алгоритм обобщенного метода интервалов
Привести неравенство к виду .
Найти область

Слайд 6Неравенство первого типа

Решить неравенство

Слайд 8Решение
2. Найдем нули

Слайд 9Решение
3. В результате получим промежутки

4. Определим знак

в полученных промежутках

Ответ:

Слайд 11Пример
Решить неравенство
Решение.

2. Найдем нули

Слайд 12Пример
3. В результате получим промежутки

4. Определим знак

в полученных промежутках

Ответ:

Слайд 14
Пример. Решить неравенство .

Решение. Решим неравенство обобщенным методом интервалов.

Слайд 15Решение
1)ОДЗ:
2)Нули знаменателя: 0; 5. Нули

числителя: 1; 3; 5; 4.

Слайд 16Решение
Вывод: 3 и 5 корни четной кратности. Нанесем найденные корни на

Слайд 17
Выясним принадлежность числа 6 множеству решений неравенства, определив знак левой

Слайд 18Примеры для самостоятельного решения
1.

2.

3.

Слайд 195. Метод рационализации.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)

Слайд 48Задачи для самостоятельного решения
1.

2.

3.

Слайд 49Метод мажорант (метод минимакса)
Метод мажорант является одним из наиболее интересных

нестандартных методов решения уравнений и неравенств.
Задачи на применение метода

Слайд 50Метод мажорант (метод минимакса)
Мажоранта и миноранта – (от франц.) две

Слайд 51Математическая модель для уравнения, решаемого методом мажорант (методом оценки)
М

Слайд 52Математическая модель для неравенства, решаемого методом мажорант (методом оценки)
f(x)

Слайд 53Опорные неравенства
а)
б)

в)

, где ab>0

г)

д)

Слайд 54Схема решения
Оценить левую часть f(x) уравнения (неравенства).
Оценить правую часть g(x)

уравнения (неравенства).
Найти значение мажоранты М.
Составить систему уравнений:
Найти решение этой

Слайд 55Признаки присутствия мажоранты в задаче
Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в

Слайд 56Пример
Решить уравнение:

Решение. Очевидно, что ,

Перемножив почленно эти неравенства,

Слайд 57Пример
Левая часть равна правой, лишь при условии

одновременно.
Следовательно,

данное уравнение равносильно системе уравнений

Отсюда получаем корни уравнения.

Слайд 58Пример
Решить уравнение

Решение. Область значений каждой части неравенства равна:
1.

2.

Слайд 59Пример
Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.

(х–1,5)2 + 4

= 4, х = 1,5.
Ответ: {1,5}.

Слайд 60Пример
Имеет место частный случай

где М – мажоранта для

Слайд 61Пример
Решить уравнение

Решение.

Слайд 62Задачи для самостоятельного решения
1.

2.

3.

4.

Слайд 63Минимаксные задачи с параметрами
При каких значениях параметра а система имеет

единственное решение.
х² + 2ах + 4а² -5а +

Слайд 64Минимаксные задачи с параметрами
2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем

неравенство
4sin y – 3 cos y ≤ √ 4²