Обратные тригонометрические функции

Чикрин Е.А.

астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся

по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – ЕвклидаТригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабсками учеными. В трудах по астрономии Ариабхаты появляется термин «ардхаджива». Позднее привилось более краткое название «джива», а при переводе математических терминов в XII в. Это слово было заменено латинским «sinus».
Принципиальное значение имело составление Птолемеем первой таблицы синусов(долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Слово косинус –это сокращение латинского выражения «complementy sinus»(синус).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени.Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X веке Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. Т. Бравердином, а позже астрономом Региомонтаном.
Первым автором, который использовал специальные символы для обратных тригонометрических функций был, Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as и at соответственно вместо arcsin и arctg.Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера известного французского ученого Лагранжа.Приставка «arc» происходит от латинского «arcus»(лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x, например,- это угол (а можно сказать и дуга) синус которого равен x.

можно определить обратные функции

(круговые функции, аркфункции). Они обозначаются соответственно , , , .

К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
аркси́нус (обозначение: arcsin)

аркко́синус (обозначение: arccos)

аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)

арксе́канс (обозначение: arcsec)

арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Теорема о корне:

Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение F(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.

На промежутке функция монотонна, возрастает, т.е.
все значения от -1 до 1 принимает ровно один раз, поэтому можно определить обратную функцию - arcsin x.

На промежутке функция монотонна, убывает, т.е.
принимает все значения от -1 до 1 ровно один раз, поэтому можно определить обратную тригонометрическую функцию.

На интервале функция монотонна, возрастает и принимает все значения из R ровно один раз, поэтому можно определить обратную тригонометрическую функцию.

На интервале функция монотонна, убывает , принимает все значения из R ровно один раз, поэтому мы можем определить обратную тригонометрическую функцию.

-угол

из промежутка синус которого равен а.
Если , то




Функция y = arcsinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.
--функция нечетная

Таким образом, arcsina, (arctga) - угол первой четверти, если a - положительно, и угол четвертой четверти, если a - отрицательно.

,

-угол из

промежутка
, косинус которого равен а.

Если , то



Функция y = arccosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция y = arccosx является строго убывающей.

arccosa (arctga) - угол первой четверти, если a - положительно, и угол второй четверти, если a - отрицательно.

-угол из интервала

тангенс которого равен а.




- нечётная функция

Функций непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

Функция является строго возрастающей.

,

-угол из интервала

, котангенс
которого равен а.

Функция непрерывна и ограничена на всей своей
числовой прямой.

Функция является строго убывающей.

функция возрастает, т.е. каждое свое значение

принимает ровно один раз, т.е. если на промежутке .

;

Аналогично:

обратными тригонометрическими функциями
Решение уравнений и неравенств, левая и правая части

которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность( функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения). Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

I

Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | £ 1 (тогда используем первую систему), или  | g(x) | £ 1 (в этом случае используем вторую систему).

входящее в систему не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству

найденные корни уравнения.

2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | £ 1

(тогда используем первую систему), или  | g(x) | £ 1 (в этом случае используем вторую систему).

, то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:

g(x); б) acrtg f(x) ≤ arctg g(x)   f(x) ≤ g(x).


а) arcctg f(x)

= arcctg g(x) f(x) = g(x); б) arcctg f(x) ≤ arcctg g(x)   f(x) ≥ g(x).

IV

обратными тригонометрическими функциями
При решении уравнений и неравенств, левая и

правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x0 – решение этого уравнения.
Обозначим arcsin f(x0) = arccos g(x0) через a.
Тогда sin a = f(x0), cos a = g(x0),

откуда

Итак, arcsin f(x) = arccos g(x)   (1)

(1)–(4) может быть только такое число x0, для которого

и .
В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

является посторонним.


Ответ: {1}.

Примеры

посторонним.


Ответ:

x).

Решение.







Корни вида

являются посторонними.

Ответ:

разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в

некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.
Пример 9. Решить неравенство
Решение. Рассмотрим функцию

и решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.
1) Найдем D(f). Для этого решим систему




2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение




Корень x = – 2 является посторонним

интервалов.


Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравнения
можно было не

обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что функция
является монотонно возрастающей, а функция
монотонно убывающей на отрезке . Поэтому решением исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать, что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.

актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными,

следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,

свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует

помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Обозначим

После преобразований получим уравнение




Поскольку 

откуда


Ответ:

Решение. Пусть arccos x = t, 0 ≤ t

≤ π. Тогда
Поскольку 



откуда 

Ответ: [– 1; cos 2] И [cos 1; 1].

Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества

равносильно следующему:




Пусть arcsin x = t,


Тогда  

некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно

на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если   то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе

3arccos x.
Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция

y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.
Ответ: {0,5}.
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Пусть Тогда уравнение примет вид


Функции являются монотонно возрастающими.
Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение
имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому


Ответ: {– 1; 0}.

часть неравенства представляет собой монотонно
убывающую на отрезке

функцию


Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что – корень этого уравнения.

Поэтому решением неравенства
является отрезок

Ответ:

arcsin (x(x + y)) +

arcsin (y(x + y)) = .
Решение. Поскольку arcsin 

то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно Таким образом, уравнение равносильно системе:



Решение последней системы не представляет труда.

уравнение с параметром a:

Решение. Уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим два случая:
1) a = 0. В этом случае система примет вид:
2) a ≠ 0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:

Так как | x | ≤ 1, то
Если a = – 1, то Если то уравнение имеет два корня.
Ответ:

при при a = – 1 и a = 0 x = 1;
при прочих a решений нет.

системе






Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что

при a > первое неравенство системы равносильно неравенству x ≥ 1,
при a < – неравенству x ≥ 1,
при a = решением первого неравенства является любое действительное число.
Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.
Ответ:
при | a | > решений нет;
при a =– x = 1;

arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).
Решение. Данное уравнение равносильно

системе



Графиком квадратного трехчлена
является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 < 0, то
при любом a уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a.
Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a.

Это корень



Ответ: при любом a

тригонометрические функции [Текст] / Н. Вельмушкина // Математика / Прил.

к ПС, 2004. – №6. – С.26-27.
3. В.С. Крамор, П.А Михайлов " Тригонометрические функции ." Москва "Просвещение " 1983г.
4. В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович . " Практикум по решению математических задач. " Москва "Просвещение " 1984г.
5. А.П. Ершова , В. В. Голобородько " Алгебра . Начала анализа. " "ИЛЕКСА " Москва 2003г
6. Кожеуров, П.Я. Тригонометрия [Текст] / П.Я. Кожеуров. – М.: Физматгиз, 1963. – 320с.
7. Савин, А. Тригонометрия [Текст] / А. Савин // Квант, 1996. – №4.